Théorème des valeurs intermédiaires et solutions de f(x)=0 (réf 1052) Chapitre 3 dérivation, continuité et convexité, séquence 3 continuité et théorème des valeurs intermédiaires, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

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Théorème des valeurs intermédiaires et solutions de f(x)=0 (réf 1052)

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Nombre de solutions de l’équation f(x)=0

Théorème des valeurs intermédiaires

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Fiche méthode théorème des valeurs intermédiaires (réf 1077)
méthode

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On donne le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $[-3;5]$
Dans chaque cas, dire si $f$ est continue sur $[-3;5]$.
Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ en justifiant la réponse.
Rappel:les flèches d'un tableau de variation traduisent la continuité de $f$.

tableau 1

Rappel cours

Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).

Aide

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour justifier que $f$ admet au moins une solution et que $f$ est strictement décroissante.

Solution

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tableau 2

Aide

Utiliser le minimum de $f$ pour déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$

Solution

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Tableau 3

Rappel cours

Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).

Aide

Il faut distinguer les intervalles $[-3;2]$ et $[2;5]$

Solution

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