Calculer $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.

Rappel cours

Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$

Aide

Pour déterminer les variations de la fonction $f$, il faut étudier les signe de $f'(x)$
Pour étudier le signe d'un polynôme de degré 2, il faut chercher ses racines.

Solution

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Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $[0;5]$.

Rappel cours

Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a < b$).
Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).

Aide

Pour justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une seule solution, il faut:
$f$ continue sur I (intervalle de $\mathbb{R}$)
0 compris entre $f(a)$ et $f(b)$ avec $a$ et $b$ dans l'intervalle I
$f$ strictement croissante ou strictement décroissante (c'est à dire $f$ monotone) sur I

Solution

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Avec la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=0$.

Aide

Utiliser le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction $f$ puis en paramétrant dans SET XSTART=0, XEND=5 et STEP=1, puis en encadrant $\alpha$ à l'unité, modifier XSTART , XEND en conséquence et STEP=0,1 et ainsi de suite jusqu'à la précision du centième.

Solution

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En déduire la valeur arrondie aux dixièmes de $\alpha$.

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