Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.

Il faut chercher, si elles existent, les valeurs de $x$ pour lesquelles on ne peut pas calculer l'image

Il n'y a aucune valeur du réel $x$ pour laquelle on ne peut pas calculer l'image
donc $D_f=\mathbb{R}$

Le dénominateur ne doit pas être égal à $0$

Il faut que $x^2-4$ ne soit pas égal à $0$
$x^2-4=0$ pour $x^2=4$
soit pour $x=2$ ou $x=-2$
donc $D_f=\mathbb{R}\setminus \lbrace -2;2 \rbrace$.

La racine carrée existe si $2x-8$ est supérieur ou égal à $0$

Il faut que le dénominateur soit supérieur ou égal à $0$
$2x-8\geq 0$ pour $2x\geq 8$ soit $x\geq 4$
$D_f=[4;+\infty[$

Il faut que $x-1$ soit différent de $0$
et il faut que $3-x$ soit supérieur ou égal à $0$

Il faut $x-1\neq 0$
$x-1 =0$ pour $x=1$
et il faut $3-x\geq 0$
$3-x\geq 0$ pour $-x\geq -3$
soit $x\leq 3$ l'inégalité change de sens quand on multiplie les deux membres par $-1$
$D_f=]-\infty;1[\cup]1;3]$