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Contenu
Calcul du taux d’accroissement
Utilisation de l’expression conjuguée pour simplifier avec une racine carrée
Nombre dérivé en x=1 avec une racine carrée
Ressources associées et exercices semblables
Vidéo de l’exercice
- Montrer que le taux d'accroissement de $f$ entre$1$ et $1+h$ avec $h\neq 0$ et $1+h\geq -1$ est $T_h=\dfrac{1}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}$
Rappel cours
Taux d'accroissement d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à $D_f$.
Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si on pose $b=a+h$, $h$ réel ( $a+h\in D_f$ et $h\neq 0$ puisque $b\neq a$), on a alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Aide
Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{2+h}+\sqrt{2}$
Solution
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Infos abonnements - En déduire que $f$ est dérivable en $x_0=1$ et calculer $f'(1)$.
Rappel cours
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
$k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)
Aide
Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclure
Solution
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