Devoir calculs de dérivées et équations de tangentes (réf 0573) Chapitre 2 dérivation, PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

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Devoir calculs de dérivées et équations de tangentes (réf 0573)

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Contenu

Lecture graphique du nombre dérivé

Calculs de dérivées

Dérivée d’un produit et d’un quotient

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Fiche méthode tangentes à une courbe (réf 0577)
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Fiche méthode calculs de dérivées (réf 0578)
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Exercice 1 (7 points)

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et les droites T et T' sont les tangentes à la courbe aux points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $x_A=2$ et $x_B=3$.
tangente à la courbe

Par lecture graphique, déterminer $f'(2)$ en justifiant la réponse puis $f'(3)$ (sans justifier).

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Il faut déterminer le coefficient directeur des droites $T$ et $T'$

Solution

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Déterminer l'ordonnée du point $B$ puis l'équation réduite de la tangente T'.

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Il faut utiliser $f(3)$ et $f'(3)$

Solution

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Graphiquement, déterminer le signe de $f'(-0,5)$.

Aide

Il faut déterminer le sens de variation de $f$ en $-0,5$

Solution

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$f(x)=-x^3+3x^2+3$
1. Calculer $f'(x)$.
  
  Rappel cours
  
  Dérivées usuelles
  
  Solution
  
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2. Contrôler par le calcul le résultat donné pour $f'(3)$ par lecture graphique.
  
  Aide
  
  On utilise $f'(x)=-3x^2+6x$ avec $x=3$
  
  Solution
  
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3. Calculer $f'(1)$ puis tracer la tangente T'' à la courbe au point d'abscisse $1$.
  
  Aide
  
  On utilise $f'(x)=-3x^2+6x$ avec $x=1$
  
  Solution
  
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Exercice 2 (8 points)

Compléter le tableau ci-dessous:

Solution

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Pour chaque fonction $f$ définie et dérivable sur $D_f$, calculer $f'(x)$.
1. $f(x)=2x-3+\dfrac{3}{x}$ avec $D_f=\mathbb{R}^*$
  
  Rappel cours
  
  Dérivées usuelles
  
  Aide
  
  Il faut dériver $2x-3$ puis $\dfrac{1}{x}$
  
  Solution
  
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2. $f(x)=\dfrac{1}{x^2+2}$ avec $D_f=\mathbb{R}$
  
  Rappel cours
  
  Formules de dérivation (produit, quotient...)
  
  Aide
  
  On pose $v(x)=x^2+2$
  
  Solution
  
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3. $f(x)=x^2\sqrt{x}$ avec $D_f=]0;+\infty[$
  
  Rappel cours
  
  Dérivées usuelles
  
  Aide
  
  On pose $u(x)=x^2$ et $v(x)=\sqrt{x}$ et $f(x)=u(x) \times v(x)$
  
  Solution
  
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4. $f(x)=\dfrac{2x-1}{4-2x}$ avec $D_f=\mathbb{R}\setminus \lbrace 2 \rbrace$
  
  Aide
  
  0 On pose $u(x)=2x-1$ et $v(x)=4-2x$ et $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
  
  Solution
  
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