Variations d'une suite
Soit $(u_n)$ une suite numérique.
$(u_n)$ est croissante (resp. décroissante) à partir du rang $p$ si pour tout entier $n\geq p$, on a $u_{n+1}>u_n$ (resp. $u_{n+1} $(u_n)$ est monotone si elle est toujours croissante ou toujours décroissante.
$(u_n)$ est stationnaire à partir du rang $p$ si pour tout entier $n\geq p$, on a $u_{n+1}=u_n$ (on a donc $u_n=u_p$ pour tout $n>p$) .
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

Il faut exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$ puis calculer $u_{n+1}-u_n$.
On peut aussi étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ associée à la suite $(u_n)$

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On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ (rappel: $2^{n+1}=2\times 2^n$)

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