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Contenu
Suite arithmético-géométrique
Suite auxiliaire géométrique
Expression de Un en fonction de n
Lecture d’un algorithme Python
Limite d’une suite géométrique
Ressources associées et exercices semblables
Suite arithmético-géométrique (forme aUn b) (réf 0623)
exercice
Suite arithmético-géométrique et algorithme de recherche d’un seuil (réf 0625)
exercice
Vidéo de l’exercice
Pour l'ouverture prévue le premier janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de 7000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
Partie A
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5% des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter 6000 ouvrages neufs.
On appelle $u_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le premier janvier de l'année $(2013~+~n)$. On donne $u_{0} = 42$.
- Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n+1} = u_{n} \times 0,95 + 6$.
Rappel cours
Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$Aide
Diminuer une quantité de 5 revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{5}{100}$
La quantité d'ouvrages est donnée en milliersSolution
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Infos abonnements- On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.
Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
Aide
On peut essayer de faire fonctionner cet algorithme à la main en mode pas à pas
Solution
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Infos abonnements- À laide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme.
Aide
On peut utiliser le MENU RECUR(CASIO) ou SUites(TI premium et NumWorks) de la calculatrice en saisissant $0,95u_n+6$
Solution
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Partie B
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6000 prévus. On appelle $v_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le premier janvier de l'année $(2013~+~n)$.- Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement.
Solution
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Infos abonnements - On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie, pour tout entier $n$, par $w_{n} = v_{n} - 80$.
Montrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_{0}$.Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Aide
On a $w_{n+1} = v_{n+1} - 80$ et $v_{n+1}=0,95v_n+4$
Solution
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Infos abonnements - Montrer que $v_n=-38\times 0,95^n+80$
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Aide
On a $w_{n} = w_0\times q^n$ et $v_{n}=w_n+80$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la limite de $\left(w_{n}\right)$.
Rappel cours
Limite de $q^n$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$Aide
$(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,95$ et $q \in ]-1;1[$
Solution
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Infos abonnements - En déduire la limite de $\left(w_{n}\right)$.
Aide
$(w_n)$ et $(v_n)$ sont liées par la relation $w_n=v_n-80$
Solution
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Infos abonnements - Donner une interprétation du résultat précédent.
Aide
$n\longrightarrow +\infty$ donc le nombre d'années est très grand.
Solution
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Infos abonnements Cela signifie qu'après un très grand nombre d'années, le nombre d'ouvrages sera proche de 80 000.
Remarque
$-38\times 0,95^n <0$ donc on aura $v_n < 80$ pour tout entier naturel $n$ [/pms-restrict]
- On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.