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Contenu
Calcul d’un angle dans un triangle
Cos et sin dans le triangle rectangle
Calcul de la valeur exacte de cos(45) et sin(45)
Ressources associées et exercices semblables
- Calculer $\widehat{ABC}$ en radians et $AB$.
Aide
a somme des trois angles d'un triangle est de $\pi$ radians (soit 180 degrés) et un triangle isocèle a deux angles de même mesureSolution
$ABC$ est isocèle rectangle en $A$
donc $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$
et $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.
$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=\pi$ (somme des trois angles d'un triangle)
et comme $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.
$\widehat{ABC}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=\pi$
donc $2\widehat{ABC}+\dfrac{\pi}{2}=\pi$
soit $2\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{2}$
- Montrer que $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Rappel cours
Théorème de Pythagore
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $AB^2+AC^2=BC^2$Aide
On a $BC^2=1$ et $AB=AC$
Solution
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$
$AB^2+AC^2=BC^2 \Longleftrightarrow 2AB^2=1$
$\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB^2=\dfrac{1}{2}$
$\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
$\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}$ (on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{2}$)
$\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
- En déduire la valeur exacte de $cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.
Rappel cours
Trigonométrie dans le triangle rectangle
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.
$cos(\widehat{ACB})=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$sin(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$tan(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
Aide
$cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}$
Solution
$cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
soit $cos(\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Remarque
$sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
or $AC=AB$
donc $sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$