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Somme des termes d’une suite géométrique
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Fiche méthode suites arithmétiques et géométriques (révisions première) (réf 0971)
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- $u_0=3$ et $q=2$
Calculer $u_0+u_1+u_2+........+u_{9}+u_{10}$Rappel cours
Somme des termes d'une suite géométrique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$Aide
Attention, il a 10+1=11 termes dans cette somme
Solution
$(u_{n})$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et raison $q=2$
Dans la somme $u_0+u_1+u_2+........+u_{9}+u_{10}$, il y a $10-0+1=11$ termes dans cette somme donc on a:
$u_0+u_1+u_2+........+u_{9}+u_{10}$
$=u_0\times \dfrac{1-q^{11}}{1-q}$
$=3\times \dfrac{1-2^{11}}{1-2}$
$=3\times \dfrac{1-2^{11}}{-1}$
$=-3(1-2^{11})$
$=6141$
- $u_1=1$ et $q=3$
Calculer $u_1+u_2+u_3+........+u_{19}+u_{20}$Rappel cours
Somme des termes d'une suite géométrique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$Aide
Attention, il a 20 termes dans cette somme
Solution
$(u_{n})$ est une suite géométrique de premier terme $u_1=1$ et raison $q=3$
donc $u_n=u_1\times q^{n-1}=3^{n-1}$
Il y a $20$ termes dans cette somme donc on a:
$u_1+u_2+u_3+........+u_{19}+u_{20}$
$=u_1\times \dfrac{1-q^{20}}{1-q}$
$=1\times \dfrac{1-3^{20}}{1-3}$
$= \dfrac{1-3^{20}}{-2}$
$= \dfrac{3^{20}-1}{2}$
$=1~743~392~200$