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Contenu
Exercice BAC géométrie dans l’espace dans un repère orthonormé
Équation d’un plan et d’une droite
Intersections de droites et de plans
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Exercice BAC 2023 droites et plans dans un repère de l’espace (réf 1289)
exercice
Devoir deux exercices BAC 2023 volume d’un tétraèdre et d’un cône dans un repère (réf 1294)
devoir
On considère les points $A(0;4;1)$, $B (1;3;0)$, $C(2;-1;- 2)$ et $D (7;- 1;4)$.
- Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Rappel cours
include('/rappels_cours/8/coo_vec.php');
Aide
Il faut vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Solution
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INSCRIPTION - Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur
$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}
2\\
- 1
\\
3\end{pmatrix}$.
- Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
Rappel cours
include('/rappels_cours/8/pdr_ort.php'); include('/rappels_cours/8/coo_sca.php');
Aide
Il faut vérifier que le vecteur $\overrightarrow{u}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
Solution
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INSCRIPTION - En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Rappel cours
include('/rappels_cours/8/equ_car.php');
Aide
On peut utiliser le vecteur $\overrightarrow{u}$ vecteur normal au plan $(ABC)$ et les coordonnées de $A$ pour calculer $d$
Solution
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INSCRIPTION - Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
Rappel cours
include('/rappels_cours/8/equ_par.php');
Aide
On peut utiliser le vecteur $\overrightarrow{u}$ et le point $D(7;-1;4)$
Solution
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INSCRIPTION - Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$
Aide
Il faut écrire une équation d'inconnue $t$ en remplaçant dans l'équation de $(ABC)$ les expressions de $x$, $y$ et $z$ données avec la représentation paramétrique de $\Delta$.
Solution
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INSCRIPTION
- Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
- Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$.
- Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
Aide
Il faut vérifier que les deux plans ne sont pas parallèles donc que les vecteurs normaux respectifs de $P_1$ et $P_2$ ne sont pas colinéaires
Solution
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INSCRIPTION - Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique
$\begin{cases}
x=-4t-2\\
y =t\\
z = 3t + 2
\end{cases}$ avec $ t \in \mathbb{R}$.
Aide
Les points d'intersection de $P_1$ et $P_2$ vérifient les équations des deux plans.
On peut exprimer $x$ et $z$ en fonction de $y$ par exempleSolution
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INSCRIPTION - La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?
Aide
Si $d$ est parallèle à $(ABC)$, un vecteur directeur de $d$ est orthogonal à un vecteur normal au plan $(ABC)$
Solution
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INSCRIPTION
- Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.