Exercice BAC 2023 droites et plans dans un repère de l’espace (réf 1289) Chapitre 7 géométrie dans l'espace, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé d'unité $1$ cm, on considère les points $D(3~;~1~;~5)$, $E(3~;~-2~;~-1)$, $F(-1~;~2~;~1)$ et $G(3~;~2~;~-3)$.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$.
  
  Rappel cours
  
  Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
  L'espace est muni d'un repère quelconque.
  Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
  $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $
  
  Solution
  
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2. Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
  
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  Les trois points sont alignés si les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$ sont colinéaires
  
  Solution
  
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1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
  
  Rappel cours
  
  Représentation paramétrique d'une droite
  Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$
  
  Solution
  
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2. On appelle $H$ le point de coordonnées $(2~;~2~;~-2)$.
  Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$ .
  
  Rappel cours
  
  Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
  Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$
  
  Aide
  
  Pour que $H$ soit le projeté orthogonal de $E$ sur $(FG)$ il faut que $(HE)$ soit orthogonale à $(FG)$ et que $H$ appartienne à $(FG)$
  
  Solution
  
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3. Montrer que l'aire du triangle $EFG$ est égale à $12$ cm$^{2}$.
  
  Rappel cours
  
  Distance dans l'espace
  Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
  
  Aide
  
  La hauteur du triangle $EFG$ issue de $E$ est $EH$
  
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1. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
  
  Aide
  
  Il faut montrer que $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de $/EFG)$
  
  Solution
  
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2. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
  
  Rappel cours
  
  Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
  Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
  Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
  $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$
  
  Solution
  
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3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$ .
  
  Aide
  
  Si $(d)$ est orthogonale au plan $(EFG)$ alors un vecteur nrmal au plan est un vecteur directeur de $(d)$
  
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4. On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$.
  À l'aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
  
  Aide
  
  $K$ est donc le point d'interesection de $(d)$ et du plan $(EFG)$
  
  Solution
  
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1. Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5$cm.
  
  Rappel cours
  
  Distance dans l'espace
  Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
  
  Solution
  
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2. En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.
  
  Rappel cours
  
  Volume d'un tétraèdre
  Le volume d'un tétraèdre est donné par $ \dfrac{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}$.
  
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