Home PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 2 dérivation séquence 3 signe de la dérivée et variations

Variations et courbe d’une fonction rationnelle (quotient) (réf 0551)

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Contenu

Ensemble de définition d’une fonction

Dérivée d’un quotient

Tableau de variation et courbe d’une fonction rationnelle

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Dérivée et variations d’une fonction rationnelle (quotient) (réf 0549)
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Vidéo de l’exercice

La fonction $f$ est définie sur $D_f$ par $f(x)=\dfrac{3x^2-2x+1}{x^2+x+2}$ et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Montrer que $D_f=\mathbb{R}$

Rappel cours

Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$. Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.

Aide

Pour que $f(x)$ soit défini, il faut que le dénominateur soit différent de 0

Solution

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Calculer $f'(x)$

Rappel cours

Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

on doitcalculer la dérivée d'un quotient $\dfrac{u}{v}$

Solution

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Etudier les variations de $f$ puis dresser le tableau de variation de $f$

Rappel cours

Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

Aide

Sur $D_f$, on a $(x^2+x+2)^2>0$ donc la dérivée est du signe de son numérateur
Il faut étudier le signe du numérateur $5x^2+10x-5$
Le numérateur est un polynôme de degré 2.

Solution

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Tracer de la courbe $C_f$ dans un repère orthogonal (unités 1cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 2cm pour unité sur l'axe des ordonnées)

Aide

Placer dans cet ordre:
Les points d'abscisses $x_1=-1-\sqrt{2}$ et $x_2=-1+\sqrt{2}$ et tracer la tangente en ces points qui est parallèle à l'axe des abscisses.
Placer autant de points que nécessaire pour tracer la courbe $C_f$ avec précision (menu TABLE de la calculatrice)

Solution

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