Argument d’un quotient et valeur exacte de cos(pi/12) (réf 1454) Chapitre 1 complexes, Option maths expertes, Séquence 4 Complexes et géométrie

Déterminer l'écriture sous forme trigonométrique puis avec la notation exponentielle de $z$ et de $z'$

Rappel cours

Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.

Solution

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En déduire l'écriture exponentielle de $\dfrac{z}{z'}$.

Rappel cours

Forme exponentielle
$z$ est un complexe d'argument $\alpha$
La forme exponentielle de $z$ est $z=|z|e^{i\alpha}$

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Calculer $\dfrac{z}{z'}$ sous forme algébrique.

Rappel cours

Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$

Solution

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En déduire la valeur exacte de $cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et de $sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.

Aide

On peut utiliser l'écriture trigonométrique de $\dfrac{z}{z'}$ et la forme algébrique de $\dfrac{z}{z'}$.

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