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Contenu
Calculs avec les complexes, conjugué
Équation de degré 3 et factorisation d’un polynôme de degré 3
Équations dans C
Suite de complexes
Ressources associées et exercices semblables
Fiche méthode déterminer le module et un argument, forme trigonométrique d’un complexe (réf 1472)
méthode
Fiche méthode équations dans C et équations du second degré dans C (réf 1473)
méthode
- $-3+12i$
Rappel cours
conjugué d'un complexe
Soit $z=a+ib$ un complexe avec $a$ et $b$ réels.
Le conjugué de $z$ noté $\overline{z}$ est le compexe $\overline{z}=a-ib$Solution
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Infos abonnements - $\dfrac{3-4i}{2-i}$
Rappel cours
conjugué d'une somme, d'un produit ou d'un quotient
soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes.
$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
$\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$
Si $z'\neq 0$, on a $\overline{\left(\dfrac{1}{z'}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z'}}$
et $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$Aide
Attention, on demande la forme algébrique
Solution
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Infos abonnements - $\dfrac{(3-2i)(5+i)}{3i(7+2i)}$
Aide
Calculer d'abord le numérateur
Solution
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Infos abonnementsExercice 2 (5 points)Soit $P(z)$ défini par $P(z)=z^3-4z^2+8z-8$ pour tout $z$ complexe.- Calculer $P(2)$, en déduire une factorisation de $P(z)$ .
Aide
Si 2 est une racine du polynôme alors on peut factoriser par $z-2$
On peut alors écrire $P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)$ développer et identifier les coefficientsSolution
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Infos abonnements - Résoudre dans $\mathbb{C}$, $P(z)=0 $ (on donnera l'ensemble des solutions sous leurs formes algébriques).
Rappel cours
Équation du second degré
$a$ est un réel.
L'équation $z^2=a$
- admet deux solutions réelles si $a>0$
Ces solutions sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
- admet deux solutions complexes imaginaires pures si $a<0$
Ces solutions sont $i\sqrt{a}$ et $-i\sqrt{a}$.Aide
On doit donc utiliser la forme factorisé et résoudre $z^2-2z+4$
Solution
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Infos abonnements - Donner la forme trigonométrique de chacune des solutions précédentes.
- Placer dans un repère d'unité 1 cm les points correspondants aux solutions de $P(z)=0 $ .
Exercice 3 (6 points)Résoudre dans $\mathbb{C}$ (on donnera l'ensemble des solutions sous leurs formes algébriques).- $6-4i=3z+i$
Solution
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Infos abonnements - $(2+i)\overline{z}=z$
Aide
On peut poser $z=x+iy$
Solution
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Infos abonnements - $iz-2i=(2-2i)z+1$
Solution
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Infos abonnements - $\dfrac{1+iz}{z+i}=1+i$
Solution
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Infos abonnements - $z^4=1$
Aide
On peut poser $Z=z^2$
Solution
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Infos abonnements - $z^2+2\overline{z}=1$
Aide
On pose $z=a+ib$
Solution
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Exercice 4 (2 points)Déterminer puis construire, dans un repère d'unité 2 cm, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant les relations suivantes- $\left|z+2i\right|=3$
Aide
010 Avec $C$ d'affixe $z_C-2i$, on a $\left|z+2i\right|=\left|z-z_C\right|$
Solution
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Infos abonnements - $\left|z-2i\right|=\left|z+4\right|$
Aide
on peut utiliser le point $A$ d'affixe $z_A=2i$ et le point $B$ d'affixe $z_B=-4$ et si $M$ a pour affixe $z$ on a alors $AM=BM$
Solution
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Exercice 5 (4 points)On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=2+2i$ et pour tout entier naturel $n$: $z_{n+1} = \dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}z_n$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.- Calculer $u_0$.
Solution
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Infos abonnements - Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Rappel cours
Propriétés des modules
$z$ et $z'$ sont deux complexes
$|zz'|=|z||z'|$
Si $z'\neq 0$, $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$
Si $z\neq 0$, $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$
$z\overline{z}=|z|^2$Aide
On veut montrer que $u_{n+1}=qu_n$
$u_{n+1}= |z_{n+1}| = \left|\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}z_n\right|=\left|\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}\right||z_n|$Solution
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Infos abonnements - Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Rappel cours
Limite de $q^n$ (suite géométrique)
Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$;Aide
La raison est ici $\sqrt{2}>1$ et $u_0>0$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la forme trigonométrique de $\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}$.
Solution
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Infos abonnements - Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ et on note $A_n$ le points d'affixe $z_n$ pour tout entier naturel $n$.
En utilisant les questions précédentes, construire les points $A_1$ et $A_2$ sans calculer $z_1$ et $z_2$.Aide
OA_1=\dfrac{OA_0}{2}$ et $(\overrightarrow{OA_1};\overrightarrow{OA_2})=arg\left(\dfrac{z_{n+1}}{z_n}\right)=arg\left(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}\right)$
Solution
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- Calculer $P(2)$, en déduire une factorisation de $P(z)$ .
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