Une société d'autoroute étudie l'évolution de l'état de ses automates de péage en l'absence de maintenance.
Un automate peut se trouver dans l'un des états suivants:
- fonctionnel (F) ;
- en sursis (S) s'il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse;
- défaillant (D) s'il ne fonctionne plus.
La société a observé que d'un jour sur l'autre :
- concernant les automates fonctionnels, 90% le restent et 10% deviennent en sursis;
- concernant les automates en sursis, 80% le restent et 20% deviennent défaillants.

1. 1. Reproduire et compléter le graphe probabiliste ci-après qui représente les évolutions possibles de l'état d'un automate.
      
      Rappel cours

      Graphe probabiliste
      Un graphe probabiliste est un graphe pondéré et la somme des coefficients des arêtes partant d'un sommet est égale à 1.

      Solution

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   2. Interpréter le nombre 1 qui apparaît sur ce graphe.
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   3. Voici la matrice de transition $M = \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre F, S, D.
      Préciser la signification du coefficient $0,2$ dans cette matrice.
      Rappel cours

      Matrice de transition d'un graphe probabiliste
      La matrice de transition d'une chaîne de Markov à $n$ états est une matrice carrée $M=(m_{ij})$ d'ordre $n$ telle que $m_{ij}$ est le poids de l'arête allant du sommet $S_i$ au sommet $S_j$.

      Solution

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2. À compter d'une certaine date, la société relève chaque jour à midi l'état de ses automates. On note ainsi pour tout entier naturel $n$ :
   $f_n$ la probabilité qu'un automate soit fonctionnelle $n$-ième jour;
   $s_n$ la probabilité qu'un automate soit en sursis le $n$-ième jour;
   $d_n$ la probabilité qu'un automate soit défaillant le $n$-ième jour.
   On note alors $P_n = \begin{pmatrix}f_n &s_n&d_n \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste le $n$-ième jour.
   Enfin, la société observe qu'au début de l'expérience tous ses automates sont fonctionnels: on a donc $P_0 = \begin{pmatrix}1 &0 &0\end{pmatrix}$.
   
   1. Calculer $P_1$.
      Aide

      $P_1=P_0\times M$

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   2. Montrer que, le 3ième jour, l'état probabiliste est $\begin{pmatrix}0,729 &0,217 &0,054\end{pmatrix}$.
      Solution

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   3. Vérifier que ce graphe possède un unique état stable $P = \begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$.
      Rappel cours

      État stable ou chaîne de Markov stationnaire
      On dit qu'une distribution $E$, représentée à l'aide d'une matrice ligne, est stationnaire pour une chaîne de Markov dont la matrice de transition est $M$ si $E=E\times M$.

      Aide

      Il faut calculer $P\times M$

      Solution

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   1. 1. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1} = 0,1f_n + 0,8s_n$.
         Aide

         On a $P_{n+1}=\begin{pmatrix}f_{n+1}&s_{n+1}&d_{n+1}\end{pmatrix}=P_n\times M=\begin{pmatrix}f_{n}&s_{n}&d_{n}\end{pmatrix}\times M$

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      2. On vérifierait de même que pour tout entier naturel $n$,
         $d_{n+1} = 0,2s_n + d_n$ et $f_{n+1} = 0,9f_n$
         Compléter l'algorithme ci-dessous de sorte qu'il affiche le nombre de jours au bout duquel 30% des automates ne fonctionnent plus.
         
         Aide

         On veut donc $d_n\leq 0,3$

         Solution

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      3. Au bout de combien de jours la proportion d'automates défaillants devient-elle supérieure à 30% ?
         Aide

         Programmer l'algorithme ou bien calculer successivement les valeurs de $d_n$, $s_n$ et $d_n$

         Solution

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