Nombres de Mersenne (ex ancien BAC S) (réf 1597) chapitre 3 PGCD, théorèmes de Bezout et de Gauss, nombres premiers, Option maths expertes, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

On désigne par $a$, $b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls tels que PGCD$(b~;~c) = 1$.
Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que si $b$ divise $a$ et $c$ divise $a$ alors le produit $bc$ divise $a$.

Rappel cours

Théorème de Gauss
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
Si $a$ divise $bc$ et PGCD$(a,b)=1$ alors $a$ divise $c$.

Aide

On a donc $a=kb=k'c$ avec $b$ et $c$ premiers entre eux....

Solution

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On considère le nombre de Mersenne $2^{33} - 1$.
Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.

Il affirme que 3 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 4 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 12 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
1. En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1 ?
  
  Aide
  
  Utiliser la question 1 avec $b=3$ et $c=4$
  
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2. Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
  
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3. En remarquant que $2 \equiv - 1\quad [3]$, montrer que, en réalité, 3 ne divise pas $2^{33} - 1$.
  
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4. Calculer la somme $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots + \left(2^3\right)^{10}$.
  
  Rappel cours
  
  Somme des termes d'une suite géométrique
  La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
  $S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
  Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
  
  Aide
  
  On peut utliser la suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et raiosn $q=2^3$
  
  Solution
  
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5. En déduire que 7 divise $2^{33} - 1$.
  
  Aide
  
  $S$ est une somme d'entiers naturels donc est un entier naturel
  
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On considère le nombre de Mersenne $2^7 - 1$.
Est-il premier ? Justifier.

Aide

Il faut tester les divisions de $127$ par les entiers impairs compris entre $2$ et $\sqrt{127}$

Solution

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On donne l'algorithme suivant où MOD$(N,~k)$ représente le reste de la division euclidienne de $N$ par $k$.
1. Qu'affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ?
  
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2. Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ?
  Que représente alors le nombre $k$ affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
  
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3. Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?
  
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