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Forme trigonométrique
Suite géométrique de complexes
Ressources associées et exercices semblables
Suites de complexes (ancien BAC S) (réf 1463)
exercice
Suites de complexes (ancien BAC S) (réf 1464)
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Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : $z_{0} = 1$ et $ z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n}$.
On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.
- Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i$.
Rappel cours
Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.
Forme exponentielle
$z$ est un complexe d'argument $\alpha$
La forme exponentielle de $z$ est $z=|z|e^{i\alpha}$Solution
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- Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Aide
Il faut montrer que $r_{n+1}=qr_n$ et $r_{n+1}=|z_{n+1}|$
Solution
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Infos abonnements - En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Aide
Une suite géométrique est définie par sa raison et son premier terme
$r_n=|z_n|$ et donc $r_0=|z_0|$Solution
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Infos abonnements - Que dire de la longueur $OA_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
Rappel cours
Limite de $q^n$ (suite géométrique)
Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$Aide
$OA_n=|z_n|=r_n$
Solution
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- Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
- On considère l'algorithme suivant :
- Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ?
Aide
A chaque passage dans la boucle TANT QUE, on ajoute 1 à l'indice $n$ et on calcule le terme suivant de la suite $(r_n)$ soit $\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_n$
Solution
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Infos abonnements - Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$.
Quel est le rôle de cet algorithme ?Aide
On recherche donc à partir de quel indice la distance $OA_n$ soit $r_n=|z_n|$ est inférieure à $P=0,01$
Solution
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- Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ?
-
- Démontrer que le triangle $OA_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
Aide
On peut calculer les distances $OA_{n+1}$, $OA_n$ et $A_nA_{n+1}$ en utilisant les modules de $z_n$, $z_{n+1}$ et de $z_{n+1}-z_n$
Solution
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Infos abonnements - On admet que $z_{n} = r_{n}e^{i\frac{n\pi}{6}}$.
Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées.Aide
$A_n$ appartient à l'axe des ordonnées si sa partie réelle est nulle donc si l'argument de $z_n$ est $\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$) ou bien $\dfrac{-\pi}{2}$ ($2\pi$)
Solution
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Infos abonnements - Compléter la figure donnée ci-dessous en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
Les traits de construction seront apparents.
Aide
On sait que le triangle $OA_5A_6$ est rectangle en $A_6$ et $z_6=r_6e^{i\frac{6\pi}{6}e_6e^{i\pi}$
Solution
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- Démontrer que le triangle $OA_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.