Relation fonctionnelle
Pour tous réels $x$ et $y$ on a $exp(x)\times exp(y)=exp(x+y)$.
Avec la notation $e^x$, on a $e^xe^y=e^{x+y}$
Propriétés algébriques
Pour tous réels $x$ et $y$ on a:
$e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
$\dfrac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$
Pour tout entier relatif $n$ on a $exp(x)^n=exp(nx)$ soit $\left(e^x\right)^n=e^{nx}$

Simplifier d'abord le numérateur

$\dfrac{e^3e^{-1}}{e^4}=\dfrac{e^{3-1}}{e^4}=\dfrac{e^2}{e^4}=e^{2-4}=e^{-2}$
$\dfrac{e^3e^{-1}}{e^4}=e^{-2}$

Simplifier d'abord le numérateur

$\dfrac{e^3\times (e^2)^3}{e^8}=\dfrac{e^3\times e^{2\times 3}}{e^8}$
$\phantom{\dfrac{e^3\times (e^2)^3}{e^8}}=\dfrac{e^3\times e^6}{e^8}$
$\phantom{\dfrac{e^3\times (e^2)^3}{e^8}}=\dfrac{e^{3+6}}{e^8}$
$\phantom{\dfrac{e^3\times (e^2)^3}{e^8}}=\dfrac{e^9}{e^8}$
$\phantom{\dfrac{e^3\times (e^2)^3}{e^8}}=e^{9-8}$
$\phantom{\dfrac{e^3\times (e^2)^3}{e^8}}=e^{1}$
$\dfrac{e^3\times (e^2)^3}{e^8}=e^{10}$

Simplifier d'abord $e^{2}e^3$ puis $\dfrac{1}{e}=\dfrac{1}{e^1}$

$\dfrac{1}{e}=\dfrac{1}{e^1}=e^{-1}$

$e^{2}e^3\times \dfrac{1}{e}=e^{2+3}e^{-1}=e^5e^{-1}=e^{5-1}=e^4$
$e^{2}e^3\times \dfrac{1}{e}=e^4$