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Contenu
Comparaison de deux salaires
Suite arithmétique et suite géométrique
Ressources associées et exercices semblables
Vidéo de l’exercice
Proposition 1:Il commence avec un salaire de 2000 euros mensuel la première année et son salaire mensuel augmente chaque année de 115 euros.
Proposition 2: Il commence avec un salaire de 2000 euros mensuel la première année et son salaire mensuel augmente chaque année de 5%.
Partie A: étude de la proposition 1
On note $u_n$ son salaire du mois de janvier de l'année 2009+n avec la proposition 1.
- Déterminer $u_0$ puis calculer $u_1$
Solution
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Infos abonnements - Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?
Rappel cours
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$Solution
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Infos abonnements - Exprimer $u_n$ en fonction de $n$
Rappel cours
Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$Solution
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Infos abonnements - Déterminer à partir de quelle année son salaire mensuel sera supérieur à 2800 euros avec la proposition 1.
Aide
utiliser l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ (forme explicite) pour résoudre $u_n\geq 2800$
Solution
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Partie B: étude de la proposition 2
On note $v_n$ son salaire du mois de janvier de l'année 2009+n avec la proposition 2.
- Déterminer $v_0$ puis calculer $v_1$
Rappel cours
Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$Solution
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Infos abonnements - Quelle est la nature de la suite $(v_n)$?
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Solution
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Infos abonnements - Exprimer $v_n$ en fonction de $n$
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Solution
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Infos abonnements - Avec la calculatrice ou un tableur, déterminer à partir de quelle année son salaire mensuel sera supérieur à 2800 euros avec la proposition 2.
Aide
Il faut utiliser l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis résoudre l'inéquation $v_n\geq 2800$ d'inconnue $n$
Solution
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Partie C: comparaison des deux propositions
-
Déterminer quelle est la proposition permettant d'avoir un salaire mensuel le plus élevé en 2019.
Aide
$2019=1009+10$ donc on doit prendre $n=10$
Solution
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Infos abonnements - On note $S_u$ la somme totale gagnée par Pierre entre le 01/01/2009 et le 31/12/2019 (année 2019 inclue) avec la proposition 1 et $S_v$ la somme totale gagnée par Pierre entre le 01/01/2009 et le 31/12/2019 (année 2019 inclue) avec la proposition 2.
Calculer $S_u$ et $S_v$ et déterminer la proposition la plus avantageuse si il reste dans l'entreprise jusqu'au 31/12/2019.
Rappel cours
Somme des termes d'une suite arithmétique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est
$S=n+1\dfrac{u_0+u_n }{2}$ avec $u_n=u_0+nr$
Mémo: $S=$nombre de termes$\times \dfrac{\text{premier terme}+\text {dernier terme}}{2}$ Somme des termes d'une suite géométrique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$Aide
les deux suites correspondent au salaire mensuel pour chaque année
Solution
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