Devoir complet fin de chapitre équations de droites et de cercles (réf 0847) Chapitre 7 équations de droites et de cercles, PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Déterminer une équation cartésienne de la droite $\Delta$ perpendiculaire à la droite $d~~:~~2x+y+3=0$ passant par $A(-4;5)$.

Rappel cours

Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

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Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$ de centre $I(-2;3)$ et de rayon 3.

Rappel cours

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Exercice 2 (12 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$. Soient $A(3;6)$ et $B(0;6)$.
On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des points tels que $2MA^2+OM^2-MB^2=68$
On complètera la figure au fur et à mesure.

Montrer que $\mathcal{E}$ est le cercle d'équation $x^2+y^2-6x-6y-7=0$ puis préciser son centre et son rayon.

Rappel cours

Distance dans un repère
Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$
Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$

Aide

Exprimer les distances $MA^2$, $OM^2$ et $MB^2$ en fonction de $x$ et $y$ coordonnées de $M$ $(x-3)^2=x^2-6x+9$ et $(y-3)^2=y^2-6y+9$

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Tracer le cercle $\mathcal{C}$ de centre $C(-2;\dfrac{1}{2})$ et de rayon $\dfrac{5}{2}$. En donner une équation sous forme développée.

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Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{E}$ et $\mathcal{C}$ ; on notera $I$ celui dont l'ordonnée est la plus grande, et $J$ l'autre point.

Aide

Il faut résoudre le système formé avec les équations des deux cercles sous forme développée.
Soutraire les deux lignes membre à membre

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1. Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{E}$ en $J$ ; on note $T_{J}$ cette droite.
  
  Aide
  
  Soit $M(x;y)$ un point de la tangent, on a $\overrightarrow{JM}.\overrightarrow{JE}=0$
  
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2. Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ en $J$ ; on note $T'_{J}$ cette droite.
  
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3. Montrer que ces deux droites sont perpendiculaires (\textit{On dit que les cercles sont orthogonaux}).
  
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Exercice 3 (4 points)

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on donne $A(2;6)$ et $B(-4;2)$.
Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=10$.

Aide

Développer et simplifier le calcul du produit scalaire

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