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Suites arithmétiques et géométriques
Somme des termes
Algorithme et suites
Ressources associées et exercices semblables
Étude d’une suite arithmético-géométrique d’après BAC (réf 0633)
exercice
$\begin{cases} u_{n+1}=-0,2u_n^2+u_n \quad \text{pour }n\in\mathbb{N}\\ u_0=-1 \end{cases}$
On pose $f(x)=-0,2x^2+x$ pour $x\in \mathbb{R}$.
Le graphique ci-dessous représente la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
- Représenter sur l'axe des abscisses les premiers termes $u_0, u_1, u_2, u_3, u_4$ de la suite. Vous laisserez les traits de construction apparents.
Donner si possible une conjecture sur les variations de la suite $(u_n)$ et sur la limite éventuelle de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.Aide
$ u_{n+1}=-0,2u_n^2+u_n $ et $f(x)=-0,2x^2+x$ donc on a $u_{n+1}=f(u_n)$
Par exemple $u_1=f(u_0)=-0,2u_0^2+u_0$Solution
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Infos abonnements - Démontrer par un calcul votre conjecture sur les variations de $(u_n)$.
Rappel cours
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Aide
On ne peut étudier les variations de la fonction associée que si la suite est définie sous forme explicite, ce qui n'est pas le cas ici.
Il faut exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $u_n$.Solution
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Calculer sa raison $r$ et son premier terme $u_0$.
Rappel cours
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$
Aide
Il faut utiliser la relation $u_n=u_p+(n-p)r$ pour obtenir une équation d'inconnue $p$.
Solution
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- $u_n=(-2)^n$, $n\in \mathbb{N}$.
Rappel cours
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Aide
On peut calculer les premiers termes (avec le MENU RECUR) de la calculatrice éventuellement pour avoir une idée du résultat
Pour justifier que la suite n'est pas géométrique, il suffit de vérifier que $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$ mais pour montrer qu'elle est géométrique il faut justifier que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ (si $u_n\neq 0$) pour tout entier naturel $n$ (voir fiche méthode suites arithmétiques et géométriques).
Rappel de troisième: $\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ avec $a\neq 0$ et $n$ et $p$ entiersSolution
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Infos abonnements - $u_n=2^{2n+4}$, $n\in \mathbb{N}$.
Aide
On peut calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
Solution
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Infos abonnements - $u_n=\dfrac{5n+3}{2}$, $n\in \mathbb{N}$.
Aide
On peut calculer les premiers termes (avec le MENU RECUR) de la calculatrice éventuellement pour avoir une idée du résultat
Rappel: Pour justifier que la suite n'est pas arithmétique, il suffit de vérifier que $u_1-u_0\neq u_2-u_1$ mais pour montrer qu'elle est arithmétique il faut justifier que $u_{n+1}-u_n=r$ pour tout entier naturel $n$ (voir fiche méthode suites arithmétiques et géométriques).Solution
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Infos abonnements - $u_n=n^2$, $n\in \mathbb{N}$.
Aide
On peut calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
Solution
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On note $r_n$ le nombre de canettes sur la $n$ième rangée.
- Quelle est la nature de la suite $(r_n)$ ?
Rappel cours
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$Aide
Il faut chercher une relation entre le nombre de boîtes de la nième rangée et le nombre de boîte de la n+1 ième rangée.
Solution
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Infos abonnements - Ecrire $r_n$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$Aide
Il faut déterminer le premier terme $r_1$
Solution
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Infos abonnements - Quel est le nombre de canettes nécessaires pour faire un empilement de 25 rangées ?
Rappel cours
Somme des termes d'une suite arithmétique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est
$S=n+1\dfrac{u_0+u_n }{2}$ avec $u_n=u_0+nr$
Mémo: $S=$nombre de termes$\times \dfrac{\text{premier terme}+\text {dernier terme}}{2}$Aide
On veut calculer $r_1+r_2+.......+r_{25}$
Solution
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- Donner les différentes valeurs calculées par l'algorithme.
Aide
On peut utiliser un tableau donnant la valeur des différentes variables à chaque étape.
Solution
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Infos abonnements - Donner l'expression d'une suite $(u_n)$ dont les valeurs sont celles calculées par l'algorithme.
Aide
A chaque étape on calcule $u^2-1$ pour obtenir une nouvelle valeur de $u$
Solution
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Rappel cours
Somme des termes d'une suite géométrique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
Aide
identifier la suite $(u_n)$ telle que $S_n=u_0+u_1+u_2+....+u_n$
Solution
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