Devoir fin de chapitre niveau 3 (réf 0576) Chapitre 2 dérivation, PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

$f(x)=2x^2-\dfrac{3}{x}$ sur $D=\mathbb{R}^*$

Rappel cours

Dérivées usuelles

Aide

On peut écrire $f(x)=2x^2-3\times \dfrac{1}{x}$
Il faut donc déterminer la dérivée de $x^2$ et de $ \dfrac{1}{x}$

Solution

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$f(x)=\dfrac{x^2}{2}\sqrt{x}$ sur $D=]0;+\infty[$

Rappel cours

Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

On pose $u(x)=\dfrac{x^2}{2}$ et $v(x)=\sqrt{x}$

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$f(x)=\dfrac{-2}{3+2x^2}$ sur $D=\mathbb{R}$

Rappel cours

Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

On peut poser écrire $ f(x)=-2 \times \dfrac{1}{3+2x^2}$

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Exercice 2 (6 points)

$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $C_f$ sa représentation graphique donnée dans le repère ci-dessous.

$T$ est $T_1$ sont les tangentes à la courbe respectivement aux points $A$ d'abscisse 1 et au point $B$ d'abscisse 2.
Par lecture graphique

Donner la valeur de $f'(1)$ en justifiant ; puis $f'(2)$ (sans justifier).

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Il faut déterminer le coefficient directeur de $T$ et de $T_1$

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Calculer $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.

Rappel cours

Dérivées usuelles

Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

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Déterminer l'abscisse du point de la courbe $C_f$ pour lequel la tangente est parallèle à $T_1$.

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.

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La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x-2$ et on note $C_g$ sa représentation graphique dans le repère ci-dessous.
Déterminer les abscisses des points d'intersection de $C_f$ et $C_g$ et contrôler graphiquement en traçant $C_g$.
Résoudre alors graphiquement l'inéquation $f(x) < g(x) $ sur $[-4;2]$.

Aide

Il faut résoudre l'équation $f(x)=g(x)$.
On veut ensuite les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe de $f$ est en-dessous de celle de $g$

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Exercice 3 (4 points)

La fonction $f$ est définie sur $]-4;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}$
et $g$ est définie et dérivable sur $]-4;+\infty[$ par $g(x)=2x^3+12x^2+2$

Justifier que $f$ est dérivable sur $D_f$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x+4)^2}$

Rappel cours

Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

On pose $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$

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On pose $g$ définie et dérivable sur $]-4;+\infty[$ par $g(x)=2x^3+12x^2+2$
Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$.
En déduire le signe de $g(x)$.

Rappel cours

Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

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En déduire le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$.

Rappel cours

Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$

Aide

Il faut étudier le signe de $f'(x)$ et on a $(x+4)^2 > 0$ sur $]-4;+\infty[$

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Exercice 4 (3 points)

Problème ouvert: Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
La fonction $f$ définie, dérivable sur $\mathbb{R}$ est définie par $f(x)=ax^3+bx+c$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
$C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point $A(0;3)$.
La tangente à $C_f$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.
La tangente à $C_f$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=18x-29$.
Déterminer l'expression de $f$ (déterminer $a$, $b$ et $c$).

Rappel cours

Systèmes d'équations à deux inconnues
$S: \begin{cases} ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}$ avec $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ réels et $x$ et $y$ sont les deux inconnues.
Le système $S$ admet une solution unique si et seulement si $ab'-a'b\neq 0$ (déterminant du système $S$).

Aide

On a $f(0)=3$, $f'(1)=0$ et $f'(2)=18$
Il faut donc exprimer $f'(x)$ puis $f'(1)$ et $f'(2)$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.

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