Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.

Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $P(x)=ax^2+bx+c$
Calculer $\Delta$
Donner les racines si $\Delta>0$ et l'unique racine (appelée racine double) si $\Delta=0$

Ici, on a $a=4$, $b=-5$ et $c=6$
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 4\times 6=25-96=-71$
ne pas oublier les parenthèses pour $b^2$ car $(-5)^2=25 $ mais $-5^2=-25$!
$\Delta<0$ donc il n'y a aucune solution à cette équation.
Il n'y a aucune solution $S= \oslash$
Penser à vérifier les calculs avec la calculatrice avec le menu EQUATION de la calculatrice

Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $P(x)=ax^2+bx+c$
Calculer $\Delta$
Donner les racines si $\Delta>0$ et l'unique racine (appelée racine double) si $\Delta=0$

Ici, on a $a=2$, $b=-5$ et $c=-7$
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 2\times (-7)=25+56=81$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{81}}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{81}}{4}=\dfrac{14}{4}=\dfrac{7}{2}$
$S=\left\lbrace \dfrac{7}{2}~~;~~-1\right\rbrace $

Remarque
En remarquant que $x_1=-1$ est une solution de l'équation ($2\times (-1)^2-5\times (-1)-7=0$), on a alors (produit des racines est égal à $\dfrac{c}{a}$):
$-1x_2=\dfrac{-7}{2}$ soit $x_2=\dfrac{7}{2}$

Ici $a=-1$, $b=10$ et $c=-8$
$\Delta=b^2-4ac=(10)^2-4\times (-1)\times (-8)=100-32=68$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10-\sqrt{68}}{-2}=\dfrac{-10-\sqrt{4\times 17}}{-2}=\dfrac{-10-2\sqrt{17}}{-2}=\dfrac{-2(5+\sqrt{17})}{-2}$
soit $x_1=5+\sqrt{17}$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10+\sqrt{68}}{-2}=\dfrac{-10+2\sqrt{17}}{-2}=5-\sqrt{17}$
Les racines de $P(x)$ sont $x_1=5+\sqrt{17}$ et $x_2=5-\sqrt{17}$
$S=\left\lbrace 5-\sqrt{17}~~;~~5+\sqrt{17}\right\rbrace $