Loi de probabilité avec une variable et espérance (réf 0887) Chapitre 8 probabilités conditionnelles et variables aléatoires, PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS, Séquence 4 variables aléatoires

Un grand magasin vend des tables et des lots de quatre chaises.
On note T l'événement "le client a acheté une table" et C l'événement " le client a acheté un lot de chaises"
et on a $p(T\cap \overline{C})=0,3$, $p(C\cap \overline{T})=0,1$ et $p(C\cap T)=0,4$.
Le prix de vente d'une table est de 250 euros et le lot de quatre chaises est vendu 180 euros.

On note $X$ la dépense d'un client lorsqu'il vient dans le magasin.
Quelles sont les valeurs possibles pour $X$?

Aide

Identifier les quatre situations possibles et la dépense correspondante

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Calculer l'espérance de $X$ et en donner la signification.

Rappel cours

Variable aléatoire et loi de probabilité
Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $

Aide

faire d'abord le tableau de la loi de probabilité de $X$

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Le directeur du magasin décide de modifier le prix du lot de chaises.
On note $p$ ce nouveau prix.
Exprimer alors l'espérance de $X$ en fonction de $p$.

Rappel cours

Espérance-variance-écart type
L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

Aide

Si on a un lot de chaises pour $p$ euros, on a donc $p+250$ euros pour la table et le lot de chaises.
Refaire une tableau de la loi de probabilité de $X$ puis calculer l'espérance en fonction de $p$

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Le directeur du magasin souhaite que la dépense moyenne par client augmente de 10.
Quel prix $p$ devra-t-il fixer pour un lot de chaises?

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Déterminer quelle doit être la dépense moyenne $M$ par client
Résoudre l'équation $E(X)=M$

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