Home PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 3: suites séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Suites liées (d’après BAC) (réf 0635)

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Contenu

Suites liées par une relation de récurrence

Suite auxiliaire géométrique

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Suites liées (réf 0637)
exercice

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Vidéo de l’exercice

On considère les suites de points $A_{n}$ et $B_{n}$ définies pour tout entier naturel $n$ de la manière suivante: sur un axe orienté $\left(O~;~\overrightarrow{u}\right)$, le point $A_{0}$ a pour abscisse $0$ et le point $B_{0}$ a pour abscisse 12.
Le point $A_{n+1}$ est tel que $2\overrightarrow{A_{n+1}A_{n}}+\overrightarrow{A_{n+1}B_n}=\overrightarrow{0}$ et $B_{n+1}$ est défini par la relation vectorielle $\overrightarrow{B_{n+1}A_n}+3\overrightarrow{B_{n+1}B_{n}}=\overrightarrow{0}$.
Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont définies pour tout entier naturel $n$ avec $a_n$ abscisse du point $A_n$ et $b_n$ abscisse du point $B_n$

Calculer $a_1$ et $b_1$.

Aide

On a $\overrightarrow{AB}(x_b-x_A)$
$A_0$ a pour abscisse $a_0=0$ et $b_0$ a pour abscisse $b_0$

Solution

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Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1}=\dfrac{2a_{n}+b_{n}}{3}$ et que $b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+3b_{n}}{4}$.

Aide

On utilise les relations vectorielles données.
$A_{n}$ a pour abscisse $a_n$, $A_{n+1}$ a pour abscisse $a_{n+1}$, $B_n$ a pour abscisse $b_n$ et $B_{n+1}$ a pour abscisse $b_{n+1}$

Solution

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On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=b_{n}-a_{n}$.
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique. En préciser la raison.
  
  Rappel cours
  
  Suite géométrique
  Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
  $q$ est la raison de la suite.
  Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
  
  Aide
  
  On utilise $u_{n+1}=b_{n+1}-a_{n+1}$ et on veut obtenir $u_{n+1}=k(b_n-a_n)=ku_n$
  
  Solution
  
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2. Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$.
  
  Rappel cours
  
  Forme explicite d'une suite géométrique
  Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
  $u_n=u_0\times q^n$
  et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
  
  Solution
  
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3. Hors programme de première.
  Déterminer la limite de $(u_{n})$.
  Interpréter géométriquement ce résultat.
  
  Aide
  
  Une suite géométrique dont la raison est comprise entre $-1$ et 1 admet une limite nulle quand $n\longrightarrow +infty$
  
  Solution
  
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Démontrer que la suite $(a_{n})$ est croissante (on pourra utiliser le signe de $u_{n}$).

Aide

Il faut étudier le signe de $a_{n+1}-a_n$
On a $u_n >0$ pour tout entier naturel $n$

Solution

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Étudier les variations de la suite $(b_{n})$.

Rappel cours

Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

Aide

On peut de même étudier le signe de $b_{n+1}-b_{n}$

Solution

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On considère la suite $(v_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n}=3a_{n}+4b_{n}$.
Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est constante.

Aide

On veut montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=v_n$ ou bien que $v_{n+1}-v_n=0$

Solution

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Déterminer la limite des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$.
On pourra exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $u_n$ et $v_n$.

Aide

On peut utiliser les égalités $u_n=b_n-a_n$ et $v_n=3a_n+4b_n$
donc $b_n=u_n+a_n$ et en ramplaçant $b_n$ dans la seconde égalité on peut exprimer $a_n$ en fonction de $u_n$ et $v_n$

Solution

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