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Suites liées par une relation de récurrence
Suite auxiliaire géométrique
Ressources associées et exercices semblables
Suites liées par une récurrence double (réf 0636)
exercice
Suites liées (réf 0637)
exercice
Le point $A_{n+1}$ est tel que $2\overrightarrow{A_{n+1}A_{n}}+\overrightarrow{A_{n+1}B_n}=\overrightarrow{0}$ et $B_{n+1}$ est défini par la relation vectorielle $\overrightarrow{B_{n+1}A_n}+3\overrightarrow{B_{n+1}B_{n}}=\overrightarrow{0}$.
- Calculer $a_1$ et $b_1$.
Aide
On a $\overrightarrow{AB}(x_b-x_A)$
$A_0$ a pour abscisse $a_0=0$ et $b_0$ a pour abscisse $b_0$Solution
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Infos abonnements - Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1}=\dfrac{2a_{n}+b_{n}}{3}$ et que $b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+3b_{n}}{4}$.
Aide
On utilise les relations vectorielles données.
$A_{n}$ a pour abscisse $a_n$, $A_{n+1}$ a pour abscisse $a_{n+1}$, $B_n$ a pour abscisse $b_n$ et $B_{n+1}$ a pour abscisse $b_{n+1}$Solution
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Infos abonnements - On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=b_{n}-a_{n}$.
- Montrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique. En préciser la raison.
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Aide
On utilise $u_{n+1}=b_{n+1}-a_{n+1}$ et on veut obtenir $u_{n+1}=k(b_n-a_n)=ku_n$
Solution
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Infos abonnements - Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Solution
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Infos abonnements - Hors programme de première.
Déterminer la limite de $(u_{n})$.
Interpréter géométriquement ce résultat.Aide
Une suite géométrique dont la raison est comprise entre $-1$ et 1 admet une limite nulle quand $n\longrightarrow +infty$
Solution
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Infos abonnements
- Montrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique. En préciser la raison.
- Démontrer que la suite $(a_{n})$ est croissante (on pourra utiliser le signe de $u_{n}$).
Aide
Il faut étudier le signe de $a_{n+1}-a_n$
On a $u_n >0$ pour tout entier naturel $n$Solution
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Infos abonnements - Étudier les variations de la suite $(b_{n})$.
Rappel cours
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Aide
On peut de même étudier le signe de $b_{n+1}-b_{n}$
Solution
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Infos abonnements - On considère la suite $(v_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n}=3a_{n}+4b_{n}$.
Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est constante.Aide
On veut montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=v_n$ ou bien que $v_{n+1}-v_n=0$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la limite des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$.
On pourra exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $u_n$ et $v_n$.Aide
On peut utiliser les égalités $u_n=b_n-a_n$ et $v_n=3a_n+4b_n$
donc $b_n=u_n+a_n$ et en ramplaçant $b_n$ dans la seconde égalité on peut exprimer $a_n$ en fonction de $u_n$ et $v_n$Solution
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