Équation réduite de deux droites parallèles
Dans un repère du plan, deux droites (non parallèles à l'axe des ordonnées) sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur

Le coefficient directeur de $(d')$ est égal à celui de $(d)$
On peut déterminer $b$ (ordonnée à l'origine) en utilisant les coordonnées de $A$

$(d)$ a pour équation $y=-2x+4$ et le point $A(2;5)$.
Le coefficient directeur de $(d)$ est $a=-2$
$(d')$ est parallèle à $(d)$ donc le coefficient directeur de $(d')$ est $a'=a=-2$
$(d')$ admet donc une équation réduite de la forme $y=-2x+b'$
$A\in (d')$
donc $y_A=-2x_A+b'$
$5=-2\times 2+b'$
$\Longleftrightarrow 5=-4+b'$
$\Longleftrightarrow 9=b'$
L'équation réduite de $(d')$ est $y=-2x+9$.

Remarque
Penser à tracer la droite $(d)$ puis la droite $(d')$ passant par $A$ pour vérifier que la valeur de $b'$ calculée est correcte

Déterminer l'équation réduite de $(AB)$
Dans un repère du plan, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, pour déterminer l'équation réduite de $(AB)$:
- Calcul du coefficient directeur
$a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
- Calcul de $b$
Le point $A$ appartient à la droite $(AB)$ donc ses coordonnées vérifient $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)

Le coefficient directeur de $(d'')$ est égal à celui de $(AB)$

On a les points $A(2;5)$, $B(-2;3)$ et $C(3;-2)$.
Coefficient directeur de $(AB)$
$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
$=\dfrac{3-5}{-2-2}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}$
$(d'')$ parallèle à $(AB)$
donc le coefficient de $(d'')$ est $a=\dfrac{1}{2}$
Calcul de l'ordonnée à l'origine
L'équation réduite de $(d'')$ est donc de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b''$
$C\in (d'')$
donc $y_C=\dfrac{1}{2}x_C+b''$
$-2=\dfrac{1}{2}\times 3+b''$
$\Longleftrightarrow -2=\dfrac{3}{2}+b''$
$\phantom{-2=\dfrac{1}{2}\times 3+b''} \Longleftrightarrow -2-\dfrac{3}{2}=b''$
$\phantom{-2=\dfrac{1}{2}\times 3+b''} \Longleftrightarrow -\dfrac{7}{2}=b''$
L'équation réduite de $(d'')$ est $y=\dfrac{1}{2}x -\dfrac{7}{2}$.