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Contenu
Ensembles de nombres
Intervalles
Valeurs absolues
Décomposition en facteurs premiers
Nombres premiers
Divisibilité
Ressources associées et exercices semblables
interrogation ensembles de nombres et intervalles (réf 0064)
devoir
devoir 10 points ensembles de nombres, valeur absolue et intervalles (réf 0063)
devoir
- $|-5|$
Rappel cours
Valeur absolue
Soit $x$ un nombre réel, la valeur absolue de $x$ notée $|x|$ est:
$|x|=x$ si $x\geq 0$
$|x|=-x$ si $x < 0$Solution
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- $|2-\sqrt{2}|$
Aide
!! Déterminer le signe de $2-\sqrt{2}$
Solution
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- $|2-3\pi|$
Aide
!! Déterminer le signe de $2-3\pi$
Solution
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- Sur un axe gradué, on donne $A$ d'abscisse $\dfrac{5}{3}$ et $B$ d'abscisse $-3$ .
Calculer $AB$.Rappel cours
Distance entre deux réels
Si les points $A$ et $B$ ont pour abscisses respectives $a$ et $b$ sur un axe gradué, la distance entre les réels $a$ et $b$ est $AB=d(a;b)=|a-b|=|b-a|$.
Par exemple $d(-2;3)=|3-(-2)|=|3+2|=|5|=5$
$d(-3;-7)=|-7-(-3)|=|-7+3|=|-4|=4$Solution
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- Résoudre l'équation $|x+2|=3$.
Rappel cours
Équation de la forme $|x-a|=r$
Si on pose $A$ d'abscisse $a$ et $M$ d'abscisse $x$ alors $AM=|x-a|=r$ avec $r > 0$.
Les solutions de $|x-a|=r$ ($r >0$) sont donc $x=a-r$ et $x=a+r$.
Attention, si on a $|x+2|$ alors le point $A$ a pour abscisse $-2$.
En effet, $d(AM)=|x-(-2)|=|x+2|$ $fcoursAide
!! $x+2=x-(-2)$
On peut utiliser le point $A$ d'abscisse $-2$ et le point $M$ d'abscisse $x$ sur un axe graduéSolution
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- Résoudre $|x|>3$
Aide
!! Sur un axe gradué d'origine $O$, si le point $M$ a pour abscisse $x$ alors alors $OM=d(x;0)=|x|$ et on veut $OM > 3$
Solution
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- Déterminer le centre et le rayon de l'intervalle $\left[-\dfrac{5}{2};\dfrac{-1}{2}\right]$.
Rappel cours
Déterminer le centre et le rayon d'un intervalle
L'intervalle $I=[\alpha;\beta]$ avec $\alpha < \beta$. Le centre de $I$ est $a=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ (milieu du segment formé des points d'abscisses $\alpha$ et $\beta$)
Le rayon est $r=\dfrac{|\beta-\alpha|}{2}=|\beta-a|$.
On a alors $I=[a-r;a+r]$.Solution
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- Résoudre $|x-\sqrt{2}|=3$ puis $|x+1|<5$
Rappel cours
Équation de la forme $|x-a|=r$
Si on pose $A$ d'abscisse $a$ et $M$ d'abscisse $x$ alors $AM=|x-a|=r$ avec $r > 0$.
Les solutions de $|x-a|=r$ ($r >0$) sont donc $x=a-r$ et $x=a+r$.
Attention, si on a $|x+2|$ alors le point $A$ a pour abscisse $-2$.
En effet, $d(AM)=|x-(-2)|=|x+2|$Aide
Pour l'inéquation, on peut utiliser les points $A$ et $M$ d'abscisses respectives $-1$ et $x$
Solution
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- $|x-4|\leq 2$
Rappel cours
Inéquation de la forme $|x-a|\leq r$
Sur un axe gradué, si le point $A$ a pour abscisse $a$ et le point $M$ a pour abscisse $x$, on a $AM=d(a;x)=|x-a|$.
On veut $AM \leq r$.
L'ensemble de solution de l'inéquation $|x-a|\leq r$ est l'intervalle de centre $a$ et rayon $r$ soit $S=[a-r;a+r]$.
Par exemple pour résoudre $|x-2|\leq 3$ on a $a=2$ et $r=3$.
donc $S=[2-3;2+3]=[-1;5]$Aide
!! Sur un axe gradué, on peut utiliser le point $A $ d'abscisse $4$ et le point $M$ d'abscisse $x$ et on a $AM=d(4;x)=|x-4|$
Solution
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- $|x+\sqrt{2}|< 1$
Aide
!! On peut utiliser un intervalle centré pour donner l'ensemble de solution
$|x+\sqrt{2}|=|x-(-\sqrt{2})|$Solution
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- $|x-2|<-2$
Aide
!! rappel: une vcaleur absolue est toujours positive
\finex \ex{3} Calculer $A=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}$ Donner alors le plus petit ensemble de nombres auquel appartient $A$.Solution
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Rappel cours
01 Nombre décimal
Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a$ entier et $n$ entier naturel.
Par exemple, $2,35=\dfrac{235}{100}=\dfrac{235}{10^2}$Aide
!!01 Il faut d'abord calculer $1-\dfrac{1}{3}$
Solution
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Exercice 4 (2 points)$A=\sqrt{3}+1$- Écrire $|A|$ sans valeur absolue.
Rappel cours
Valeur absolue
Soit $x$ un nombre réel, la valeur absolue de $x$ notée $|x|$ est:
$|x|=x$ si $x\geq 0$
$|x|=-x$ si $x < 0$Solution
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- $A-2\sqrt{3}$ appartient-il à $\mathbb{N}$?
Solution
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Exercice 5 (2 points)$a$et $b$ sont deux nombres entiers non nuls, montrer que si $a$et $b$ sont divisibles par $q$ entier naturel non nul alors$a+b$ est divisible par $q$.Rappel cours
Multiple
Un nombre entier naturel $a$ est un multiple de $b \in \mathbb{N}^*$ ($b$ entier naturel non nul)si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$
On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$Aide
On peut écrire$a=nq$ et $b=mq$ avec $n$ et $m$ entiers
Solution
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Exercice 6 (4 points)- Donner la définition d'un nombre premier puis donner la liste des cinq premiers nombres premiers.
Solution
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- Décomposer $252$ puis $392$ en produit de facteurs premiers.
Solution
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- En déduire l'écriture de $\dfrac{252}{392}$ sous forme irréductible.
Aide
Il faut utiliser les deux décompositions
Solution
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- Déterminer le plus grand diviseur commun à $252$ et $392$
Aide
0 Il faut déterminer les facteurs communs aux deux décompositions
Solution
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Exercice 7 (2 points)Problème ouvert, toute trace de recherche, même infructueuse, sera valorisée dans la notation.
Deux véhicules s'élance sur un circuit automobile. Le véhicule A fait un tour en 210 secondes et le véhicule B fait un tour en 180s.
Au bout de combien de temps vont-ils se retrouver en même temps sur la ligne de départ?Aide
1 Il faut decomposer les deux temps en produit de facteurs premiers
Solution
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- Écrire $|A|$ sans valeur absolue.