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Contenu
Ensemble de définition
Calcul de la dérivée d’un quotient
Limites d’un quotient en l’infini
Tableau de variation
Courbe et asymptotes
Ressources associées et exercices semblables
Étude des variations d’un polynôme de degré 3 (réf 1023)
exercice
Dérivée, limite et variations avec une racine carrée (réf 1026)
exercice
- Montrer que $D_f=\mathbb{R}$
Rappel cours
Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Aide
Pour que $f(x)$ soit défini, il faut que le dénominateur soit différent de 0
Solution
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INSCRIPTION - Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ et en donner une interprétation graphique.
Rappel cours
Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...Aide
on peut factoriser $x^2$
Solution
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INSCRIPTION - Calculer $f'(x)$
Rappel cours
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Aide
on doitcalculer la dérivée d'un quotient $\dfrac{u}{v}$
Solution
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INSCRIPTION - Etudier les variations de $f$ puis dresser le tableau de variation de $f$
Rappel cours
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Aide
Sur $D_f$, on a $(x^2+x+2)^2>0$ donc la dérivée est du signe de son numérateur
Il faut étudier le signe du numérateur $5x^2+10x-5$
Le numérateur est un polynôme de degré 2.Solution
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INSCRIPTION - Tracer de la courbe $C_f$ dans un repère orthogonal (unités 1cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 2cm pour unité sur l'axe des ordonnées)
Aide
Placer dans cet ordre:
Les points d'abscisses $x_1=-1-\sqrt{2}$ et $x_2=-1+\sqrt{2}$ et tracer la tangente en ces points qui est parallèle à l'axe des abscisses.
Placer autant de points que nécessaire pour tracer la courbe $C_f$ avec précision (menu TABLE de la calculatrice)Solution
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INSCRIPTION