Devoir deux exercices BAC 2023 (réf 1080) Chapitre 3 dérivation, continuité et convexité, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

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Devoir deux exercices BAC 2023 (réf 1080)

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Deux exercices BAC 2023 spécialité maths

Dérivation, limites, théorème des valeurs intermédiaires et convexité

Ressources associées et exercices semblables

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Devoir complet fin de chapitre (réf 1076)
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Exercice 1 (10 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{- 3x}}$ et on donne ci-dessous sa représentation graphique.
$\mathcal{T}$ est la tangente à la courbe au point $A(1;1)$
identification de la courbe de f, de f' et de f''

identification de la courbe de f, de f' et de f''

Partie A : lectures graphiques

Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$.

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Solution

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Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.

Rappel cours

Convexité et tangentes
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
$f$ est convexe sur I si la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.
Dans le cas contraire, $\mathcal{C}_f$ en-dessous de ses tangentes), $f$ est concave.

Solution

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Partie B : étude de la fonction

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.

Rappel cours

Dérivée de $\dfrac{1}{u}$
$\left(\dfrac{1}{u}\right)'=\dfrac{-u'}{u^2}$
Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$

Aide

On pose $u(x)=1+e^{-3x}$

Solution

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Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Aide

$e^{-3x} > 0$ et $\left(1 + e^{- 3x}\right)^2 > 0$

Solution

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1. Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.
  
  Aide
  
  On pose $u(x)=e^{-3x}=X$ et on utilise la composée de exponentielle et de $u$
  
  Solution
  
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2. Déterminer la limite en $- \infty$ de la fonction $f$.
  
  Solution
  
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Partie C : Tangente et convexité

Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Solution

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On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
On admet que $f''$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f''(x) = \dfrac{9e^{-3x} \left(e^{-3x} - 1\right)}{\left(1 + e^{-3x} \right)^3}$
Étudier le signe de la fonction $f''$ sur $\mathbb{R}$.

Aide

e^{-3x} > 0$ et $1+e^{-3x} > 0$

Solution

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1. Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.
  
  Rappel cours
  
  Signe de la dérivée seconde
  Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
  si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
  si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave
  
  Solution
  
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2. Que représente le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
  
  Rappel cours
  
  point d'inflexion et dérivée seconde
  si $f"(x)$ s'annule et change de signe en $x=x_A$ alors la courbe admet un point d'inflexion au point $A$.
  
  Solution
  
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3. En déduire la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$.
  
  Solution
  
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Exercice 2 (10 points)

Partie A
Le plan est ramené à un repère orthogonal.
On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que celle de sa dérivée $f'$ et de sa dérivée seconde $f''$.

Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.

Aide

Lorsque $f$ est croissante alors $f'(x) >0$
Lorsque $f$ est convexe alors $f''(x) > 0$

Solution

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Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d'abscisse $4$.

Solution

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Donner avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_1$.

Solution

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Partie B
$k$ est un réel strictement positif.
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \dfrac{4}{1 + e^{- kx}}$.

Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $-\infty$

Aide

On pose $u(x)=-kx=X$

Solution

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Prouver que $g'(0) = k$.

Rappel cours

Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$
$\left(\dfrac{1}{u}\right)'=\dfrac{-u'}{u^2}$

Aide

On pose $u(x)=1+e^{-kx}$

Solution

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Un logiciel de calcul formel, donne les résultats ci-dessous:

Prouver que la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.

Aide

Il faut que la dérivée seconde s'annule et change de signe en $x=0$ donc étudier le signe de g''(x)$

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