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Contenu
Dérivées de fonctions composées
Étude de fonction avec exponentielle
Limites de fonctions
Théorème des valeurs intermédiaires et approximation de la solution
Ressources associées et exercices semblables
Équation de degré 3 et théorème des valeurs intermédiaires (réf 1071)
exercice
Devoir complet fin de chapitre (réf 1076)
devoir
Fiche méthode théorème des valeurs intermédiaires (réf 1077)
méthode
On admet que $f$ est dérivable sur l'ensemble donné.
- $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ sur $\mathbb{R}$
Rappel cours
Dérivée des fonctions composées
Aide
On pose $u(x)=x^2+2$
Solution
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Infos abonnements - $f(x)=3e^{2-3x^2}$ sur $\mathbb{R}$
Aide
On pose $u(x)=2-3x^2$ et on a $u'(x)=-3\times 2x=-6x$
Solution
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Infos abonnements - $f(x)=(5x-1)^3e^x$ sur $\mathbb{R}$
Rappel cours
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Aide
On pose $u(x)=(5x-1)^3$ et $v(x)=e^x$
Solution
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- Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $g$
Rappel cours
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Aide
Il faut $f(x)\geq 0$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer les limites de $f$ puis de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$
Rappel cours
Limite fonction polynôme en +oo
$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ polynôme de degré $n$
- factoriser le terme de plus haut degré
- chercher les limites de chaque terme de la parenthèseAide
En $+\infty$ on peut factoriser $x^2$
Solution
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Infos abonnements - Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$
Rappel cours
Dérivée des fonctions composées
Aide
la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$
Solution
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- La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x+sin(x)-1$.
Justifier que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$Rappel cours
Rappel $(sin(x))'=cos(x)$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$
Rappel cours
Limite par comparaison
Soit $f$ et $g$ définie sur $I=]a;+\infty[$ telles que $f(x)\leq g(x)$ sur $I$.
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$Aide
Il faut encadrer $f(x)$
Solution
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Infos abonnements - En déduire le nombre de solution de l'équation $sin(x)=1-2x$ et en donner un encadrement d'amplitude $0,1$
Rappel cours
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a < b$).
Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Solution
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