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Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 7 géométrie dans l'espace séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Devoir deux exercices BAC 2023 volume d’un tétraèdre et d’un cône dans un repère (réf 1294)

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Contenu

Représentation paramétrique d’un droite

Vecteur normal et équation d’un plan

Intersection droite plan et distance point-plan

Calculs de volumes (tétraèdre et cône)

Ressources associées et exercices semblables

Exercice BAC droites et plans de l’espace dans un repère orthonormé (réf 1286)
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Exercice BAC 2023 droites et plans dans un repère de l’espace (réf 1289)
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Fiche méthode représentation paramétrique d’une droite (réf 1295)
méthode

Fiche méthode équation d’un plan (réf 1296)
méthode

Devoir d'entraînement | temps recommandé 20mn ou plus | Niveau 2 difficulté moyenne | exercices complémentaires et devoirs d’entraînement |
Exercice 1 (10 points)
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1.
On appelle $I$ le point d'intersection du plan $(GBD)$ avec la droite $(EC)$.
L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\right)$.
  1. Donner dans ce repère les coordonnées des points $E$, $C$, $G$.
    Aide

    L'axe des abscisses est l'axe $(AB)$ avec $B(1;0;0)$, l'axe des ordonnées $(AD)$ avec $D(0;1;0)$ et l'axe des côtes $(AE)$ avec $E(0;0;1)$

    Solution

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  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EC)$.
    Rappel cours

    Représentation paramétrique d'une droite
    Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$

    Solution

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  3. Démontrer que la droite $(EC)$ est orthogonale au plan $(GBD)$.
    Rappel cours

    Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
    Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$

    Aide

    Il faut montrer que le vecteur $\overrightarrow{EC}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de $(GBD)$

    Solution

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    1. Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est : $x + y - z - 1 = 0$.
      Rappel cours

      Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
      Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
      Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
      $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$

      Aide

      $(EC)$ est orthogonale au plan $(GBD)$ donc $\overrightarrow{EC}$ est un vecteur normal au plan $(GBD)$

      Solution

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    2. Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{1}{3}\right)$.
      Solution

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    3. En déduire que la distance du point $E$ au plan $(GBD)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt 3}{3}$.
      Rappel cours

      Distance dans l'espace
      Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

      Aide

      La distance entre $E$ et $(GBD)$ est la distance $EI$

      Solution

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    1. Démontrer que le triangle $BDG$ est équilatéral.
      Aide

      Les côtés de ce triangle sont les diagonales des carrés des faces du cube

      Solution

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    2. Calculer l'aire du triangle $BDG$.
      On pourra utiliser le point $J$, milieu du segment $[BD]$.
      Aide

      Il faut calculer une hauteur du triangle équilatéral

      Solution

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  6. Justifier que le volume du tétraèdre $EGBD$ est égal à $\dfrac{1}{3}$
    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3} B\times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.
    Solution

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Exercice 2 (10 points)
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$.
On considère les points $A(3~;~0~;~1)$, $B(2~;~1~;~2)$ et $C(- 2~;~- 5~;~1)$.
  1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    Rappel cours

    Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
    L'espace est muni d'un repère quelconque.
    Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
    $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $

    Aide

    Il faut montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ par exemple ne sont pas colinéaires, autrement dit qu'il n´existe pas de réel $k$ tel que $k\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$

    Solution

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  2. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    Rappel cours

    Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
    Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$

    Solution

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  3. Vérifier que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $-x + y - 2z + 5 = 0$.
    Aide

    Il suffit de vérifier que les coordonnées des trois points $A$, $B$ et $C$ vérifient l'équation donnée

    Solution

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  4. On considère le point $S(1~;~-2~;~4)$.
    Déterminer la représentation paramétrique de la droite ($\Delta$), passant par $S$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
    Rappel cours

    Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
    Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
    Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
    $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$
    Représentation paramétrique d'une droite
    Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$

    Aide

    $(\Delta)$ est orthogonale au plan $(ABC)$ donc un vecteur normal à ce plan est un vecteur directeur de $(\Delta)$

    Solution

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  5. On appelle $H$ le point d'intersection de la droite ($\Delta$) et du plan $(ABC)$.
    Montrer que les coordonnées de $H$ sont $(0~;~-1~;~2)$.
    Aide

    Il faut remplacer les expressions de $x$, $y$ et $z$ en fonction de $t$ dans l'équation du plan pour déterminer la valeur de $t$

    Solution

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  6. Calculer la valeur exacte de la distance $SH$.
    Rappel cours

    Distance dans l'espace
    Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

    Solution

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  7. On considère le cercle $\mathcal{C}$, inclus dans le plan $(ABC)$, de centre $H$, passant par le point $B$. On appelle $\mathcal{D}$ le disque délimité par le cercle $\mathcal{C}$.
    Déterminer la valeur exacte de l'aire du disque $\mathcal{D}$.
    Rappel cours

    Aire d'un disque
    L'aire d'un disque de rayon $r$ est $A=\pi\times r^2$

    Solution

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  8. En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet $S$ et de base le disque $\mathcal{D}$.
    Rappel cours

    Volume d'un cône
    Le cône dont le disque de base à une aire de $\mathcal{A}$ et une hauteur $h$ a pour volume $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}\times h$

    Solution

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