Devoir fin de chapitre intégrales (réf 1228) Chapitre 6 calcul intégral, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

$I=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x}{x^2+1}dx$

Rappel cours

Dérivée de $ln(u)$
$\left(\dfrac{u'}{u}\right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ dérivable et strictement positive

Aide

Faire "apparaître" $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^2+1$

Solution

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$J=\displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} (x+1)cos(x)dx$

Rappel cours

Primitives des fonctions usuelles

Intégration par parties
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[1;b]$.
$\displaystyle \int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$

Aide

On utilise une intégration par partie avec $u(x)=x+1$ et $v'(x)=cos(x)$

Solution

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Exercice 2 (9 points)

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt :
intégrale et aire sous la courbe

Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = e^{-x}(-cos(x)+sin(x)+1)$
et $g(x) = -e^{-x}cos (x)$
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$.

Partie A - Étude de la fonction $f$ :

Justifier que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $-e^{-x}\leq f(x)\leq 3e^{-x}$.

Rappel cours

Encadrement de cos(x) et sin(x)
Pour tout réel $x$ on a $-1\leq cos(x)\leq 1$ et $-1\leq sin(x)\leq 1$

Solution

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En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

Rappel cours

Limite par comparaison
Soit $f$ et $g$ définie sur $I=]a;+\infty[$ telles que $f(x)\leq g(x)$ sur $I$.
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$

Aide

$e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$

Solution

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Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=e^{-x}(2cos (x)-1)$.

Rappel cours

Dérivée de cosinus et sinus
Les fonctions cosinus et sinus sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ et on a:
$(cos(x))'=-sin(x)$
$(sin(x))'=cos(x)$
Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

On pose $u(x)=e^{-x}$ et $v(x)=-cos (x)+sin(x)+1$

Solution

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Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~\pi]$.
1. Étudier les variations de $f$ sur $[-\pi~;~\pi]$
  
  Aide
  
  $e^{-x}> 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2cos(x)-1$
  Résoudre l'inéquation $2cos(x)-1 \geq 0$
  
  Solution
  
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Partie B Aire du logo :
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. L'unité graphique est de 2 centimètres.

étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb{R}$.

Aide

Il faut étudier le signe de $f(x)-g(x)$

Solution

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Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $H(x)=\left(-\frac{cos x}{2}-\frac{sin x}{2}-1\right)e^{-x}$
On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x=-\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.
1. Montrer que $H$ est une primitive de la fonction $d: x\mapsto (sin(x)+1)e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.
  
  Rappel cours
  
  Dérivée de cosinus et sinus
  Les fonctions cosinus et sinus sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ et on a:
  $(cos(x))'=-sin(x)$
  $(sin(x))'=cos(x)$
  Dérivée d'un produit
  $(uv)'=u'v+uv'$
  
  Aide
  
  Il faut vérifier que $H'(x)=d(x)$
  
  Solution
  
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2. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique.
  
  Solution
  
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3. Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^2$.
  
  Rappel cours
  
  Aire et intégrale
  $f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
  $\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
  
  Aide
  
  Utiliser la position relative des deux courbes et la question B.2.
  
  Solution
  
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Exercice 3 (6 points)

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par $f(x)=\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}$.

1. Montrer que pour tout $x \geq 0$ on a $e^{-x}\leq e^{x}$.
  
  Aide
  
  si $x\geq 0$ alors $e^x \geq 1$ et $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
  
  Solution
  
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2. Montrer que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;+\infty[$.
  
  Rappel cours
  
  Dérivée de $\dfrac{1}{v}$
  $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$ avec $v$ dérivable et non nulle
  
  Aide
  
  On pose $v(x)=e^x+e^{-x}$
  
  Solution
  
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Pour $n$ entier naturel, on considère $I_n=\displaystyle \int_n^{n+1} f(x) dx$
1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_n\geq 0$.
  
  Rappel cours
  
  Si $f(x)\geq 0$ et $f$ continue sur $[a;b]$ on a $\displaystyle \int_a^b f(x)dx \geq 0$
  
  Solution
  
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2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $f(n+1)\leq I_n\leq f(n)$
  
  Rappel cours
  
  Comparaison d'intégrales
  Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a;b]$ avec $f(x)\leq g(x)$ alors $\displaystyle \int_a^b f(x)dx\leq \displaystyle \int_a^b g(x)dx$
  
  Aide
  
  On a $n\leq x \leq n+1$ et $f$ décroissante
  
  Solution
  
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3. En déduire que $(I_n)$ est décroissante.
  
  Rappel cours
  
  Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
  Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
  Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
  Étudier le signe de l'expression obtenue
  Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
  Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
  
  Solution
  
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4. Montrer que $(I_n)$ converge.
  
  Rappel cours
  
  Limite d'une suite majorée ou minorée
  Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
  Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergente
  
  Solution
  
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