Équation de la forme y’=ay+b et vitesse de descente (réf 1168) Chapitre 5 Primitives et équations différentielles, Séquence 4 Équations différentielles de la forme y'=ay et y'=ay+b, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

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Équation de la forme y’=ay+b et vitesse de descente (réf 1168)

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Résolution d’une équation différentielle de la forme y’=ay+b vérifiant une condition initiale

Étude des variations d’une fonction de la forme exp(u)

Résolution d’une inéquation avec exponentielle

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Équation différentielle de la forme y’=ay b avec une condition donnée (réf 1165)
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Lors d'une course cycliste, un coureur descend une route rectiligne très longue. On note $v(t)$ sa vitesse en fonction du temps écoulé en secondes.
Un modèle simple permet de considérer que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle $10y'+y=30$.
Au départ, la vitesse initiale du cycliste est nulle.

Déterminer la fonction $v$

Rappel cours

Solutions de $y'=ay+b$ avec $a$ réel non nul
Les solutions de $y'=ay$ sont de la forme $x\mapsto Ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$ avec $K$ constante réelle

Aide

Isoler $y'$ pour se ramener à une équation de la forme y'=ay+b$

Solution

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Étudier les variations de la fonction $v$ sur $[0;+\infty [$ et sa limite en $+\infty$

Aide

On a la composée de la fonction $u$ avec $u(t)-0,1t$ et de la fonction exponentielle

Solution

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On considère que la vitesse du cycliste est stabilisée quand son accélération $v'(t)$ devient inférieure à $0,1$m.s$^{-2}$.
Déterminer, à la seconde près, le temps à partir duquel la vitesse est stabilisée.

Aide

On veut résoudre $v'(t)\leq 0,1$

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