Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS chapitre 8 probabilités, variables aléatoires, loi binomiale et démombrement Séquence 4 Variables aléatoires et espérance

Espérance et variance d’une loi binomiale et utilisation des propriétés (réf 1343)

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Contenu

Justifier une loi binomiale

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Vidéo de l’exercice

Un joueur de basket s'entraîne en effectuant des tirs à deux points et à trois points.
Le matin il effectue 50 tirs à deux points avec un taux de réussite de 80% en moyenne.
L'après midi, il effectue 40 tirs à trois points avec un taux de réussite de 60% en moyenne.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de tirs réussis lors des séances du matin et $Y$ le nombre de tirs réussis lors des séances de l'après midi.
On suppose que la réussite d'un tir est indépendante des tirs précédents.

Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$ puis $E(Y)$ et $\sigma(Y)$.
Donner la signification de $E(X)$ et $E(Y)$.

Rappel cours

Espérance de la loi binomiale
On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes répétées) et $p$ (probabilité de l'événement $S$), on a alors: $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$

Aide

On pourra justifier que la loi de probabilité de $X$ (et $Y$) suit une loi binomiale

Solution

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On note $Z$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués chaque jour.
Calculer $E(Z)$ puis $\sigma(Z)$.

Rappel cours

Espérance et variance de $X+Y$ et de $kX$
$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
$E(kX)=kE(X)$ et $V(kX)=k^2V(X)$

Aide

On a donc un coefficient 2 pour $X$ et un coefficient 3 pour $Y$

Solution

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Un autre jouuer s'entraîne en même temps avec exactement 152 points marqués en moyenne mais l'écart type de la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués est $\sigma=6,2$.
Pour le match, l'entraîneur va choisir le joueur qui a le plus de chances de se rapprocher de son score à l'entraînement.
Quel joueur va-t-il sélectionner?

Aide

L'écart type est une caractéristique de dispersion. Cela signifie que plus l'écart type est faible, plus les données de la série de valeurs donnant la moyenne seront proches de la moyenne.

Solution

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