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Contenu
Dérivée d’un quotient et calcul de la dérivée seconde
Signe de la dérivée seconde et convexité
Point d’inflexion
Ressources associées et exercices semblables
Étude de la convexité d’un polynôme de degré 2 (réf 1062)
exercice
Étude de la convexité d’un polynôme de degré 3 (réf 1063)
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Étude de la convexité d’un polynôme de degré 4 (réf 1064)
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Étude de la convexité d’une fonction avec une exponentielle (réf 1066)
exercice
- Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$
Rappel cours
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Solution
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Infos abonnements - En déduire la convexité de $f$ en précisant, s'il y en a, les abscisses des points d'inflexion.
Rappel cours
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Aide
On peut dresser le tableau de signe de $f"$ puis en déduire les variations de $f'$
Pour étudier le signe de $f''(x)$, il faut étudier le signe du numérateur.Solution
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Infos abonnements - Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ au point de la courbe d'abscisse 1.
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Aide
Calculer le coefficient directeur $f'(1)$ de cette tangente.
La tangente passe par le point de coordonnées $(1;f(1))$ donc il faut calculer également $f(1)$Solution
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Infos abonnements - Contrôler graphiquement le résultat obtenu en traçant la courbe représentative de $f$ avec GEOGEBRA et tracer la tangente au point d'abscisse 1.
Rappel cours
Convexité et tangentes
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
$f$ est convexe sur I si la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.
Dans le cas contraire, $\mathcal{C}_f$ en-dessous de ses tangentes), $f$ est concave.Aide
Dans la barre de saisie, entrer la fonction $f$.
Dans la barre de saisie, en utilisant TANGENTE[abscisse, fonction], tracer la tangente au point d'abscisse 1.Solution
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