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Exercice BAC géométrie dans l’espace dans un repère orthonormé
Équation d’un plan et d’une droite
Intersections de droites et de plans
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exercice
Devoir deux exercices BAC 2023 volume d’un tétraèdre et d’un cône dans un repère (réf 1294)
devoir
On se place dans le repère orthonormal $\left(\text{A};\overrightarrow{\text{AB}};\overrightarrow{\text{AD}};\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.
On considère les points $I\left(1;\dfrac{1}{3};0\right)$, $J\left(0;\dfrac{2}{3};1\right)$, $K\left(\dfrac{3}{4};0;1\right)$ et $L(a;1;0)$ avec $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0;1].
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(IJ)$.
Rappel cours
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$Aide
$\overrightarrow{IJ}$ est un vecteur directeur de $(IJ)$
Solution
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Infos abonnements - Donner de même une représentation paramétrique de la droite $(KL)$.
Solution
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Infos abonnements - Démontrer que les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont sécantes si, et seulement si $a=\dfrac{1}{4}$.
Aide
Si on note $U$ le point d'intersection s'il existe des droites $(IJ)$ et $(KL)$ il existe un réel $t$ et un réel $t'$ tel que $y_U=\dfrac{1+t}{3}=t'$ et $z_U=t=1-t'$
Avec les valeurs de $t$ et $t'$ obtenues ont peut écrire une équation d'inconnue $a$ en utilisant les abscisses.Solution
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Partie B
Dans la suite de l'exercice, on pose $a = \frac{1}{4}$.
Le point L a donc pour coordonnées $\left(\frac{1}{4};1;0\right)$.
- Démontrer que le quadrilatère $IKJL$ est un parallélogramme.
Rappel cours
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $Aide
$IKJL$ est un parallélogramme $\Longleftrightarrow \overrightarrow{IK}=\overrightarrow{LJ}$
Solution
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Infos abonnements - La figure ci-dessous fait apparaître l'intersection du plan $(IJK)$ avec les faces du cube $ABCDEFGH$ telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
On désigne par $M$ le point d'intersection du plan $(IJK)$ et de la droite $(BF)$ et par $N$ le point d'intersection du plan $(IJK)$ et de la droite $(DH)$.
Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.- Prouver que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}
8\\
9\\
5
\end{pmatrix}$
est un vecteur normal au plan $(IJK)$.
Rappel cours
droite et plan orthogonaux
Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.
Aide
Il faut montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs directeurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ du plan $(IJK)$
Solution
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Infos abonnements - En déduire que le plan (IJK) a pour équation $8x+9y+5z-11=0$.
Rappel cours
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$Aide
Il faut utiliser les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{n}$ vecteur normal au plan $(IJK)$ et les coordonnées de $I$ par exemple pour calculer $d$
Solution
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Infos abonnements - En déduire les coordonnées des points $M$ et $N$.
Aide
Le point $M$ appartient au plan $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE})$ donc $y_M=0$
et le point $M$ appartient au plan $(BFG)$ donc $x_M=1$ et $M\in (IJK)$Solution
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- Prouver que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}
8\\
9\\
5
\end{pmatrix}$
est un vecteur normal au plan $(IJK)$.