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Contenu
Arbre de probabilité
Probabilités conditionnelles et totales
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Espérance
Ressources associées et exercices semblables
Chaque moteur est testé en fin de fabrication. Si le test est positif, le moteur est acheminé chez le client ;
si le test est négatif, le moteur retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si, cette fois, le test est positif, le moteur part chez le client mais, si le test est négatif, le moteur est définitivement écarté et détruit.
Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 85% des moteurs neufs sortis directement des chaines de fabrication mais que, parmi les moteurs révisés, seulement 65% d'entre eux passent le second test avec succès.
On note $P$ l'événement "Le premier test est positif" et $E$ l'événement "Le moteur est envoyé chez le client".
Sauf avis contraire, on donnera les valeurs décimales exactes des probabilités demandées.
Partie A
On choisit un moteur au hasard dans la chaine de fabrication.
- Compléter l' arbre de probabilité illustrant les différents cas qui peuvent se présenter pour ce moteur.
Rappel cours
Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:
Solution
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INSCRIPTION - Donner la probabilité pour que le premier test en fin de fabrication soit positif pour ce moteur et donc que le moteur soit envoyé chez le client.
Rappel cours
Probabilité de l'événement $A\cap B$
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$Aide
On veut calculer $p(P\cap E)$
Solution
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INSCRIPTION - Calculer la probabilité pour que ce moteur doive être révisé et soit ensuite acheminé chez le client.
Aide
Cette probabilité se note $p(\overline{P}\cap E)$
Solution
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INSCRIPTION - Calculer la probabilité pour que ce moteur soit finalement écarté et détruit.
Aide
Cette probabilité se note $p(\overline{P} \cap \overline{E})$
Solution
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INSCRIPTION - Calculer la probabilité pour que ce moteur soit envoyé chez le client.
Rappel cours
Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$Aide
On veut calculer $p(E)$ avec la formule des probabilités totales
Solution
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Partie B
La fabrication d'un moteur revient à 1000 euros auxquels il faut rajouter 100 euros si le moteur est révisé. Un moteur est facturé au client la somme de $t$ euros ($t$ nombre réel positif).
Soit $X$ la valeur du gain associé à chaque moteur fabriqué (éventuellement négatif) .
- Déterminer en fonction de $t$ les trois valeurs que peut prendre $X$ et déterminer la loi de probabilité de $X$.
(On rappelle que le bénéfice est la différence entre le prix de vente et le prix de revient.)Aide
Identifier les trois cas possibles sur l'arbre et les valeurs du bénéfice correspondantes...
Solution
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INSCRIPTION - Compléter le tableau ci-dessous et calculer en fonction de $t$ l'espérance mathématique de $X$ On a le tableau suivant:
Rappel cours
Variable aléatoire et loi de probabilité
Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $Aide
A chaque valeur de $X$ correspond un parcours sur l'arbre.
Solution
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INSCRIPTION - En déduire la valeur de $t$ à partir de laquelle l'entreprise fera un bénéfice positif en vendant un grand nombre de moteurs (arrondir à l'euro près).
Rappel cours
Espérance-variance-écart type
L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$Aide
On veut $E(X)\geq0$
Solution
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