Suites définies par récurrence (d’après BAC ) (réf 0963) chapitre 1 suites et limites de suites, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

Les fabricants d'ordinateurs portables de haut de gamme vendent leurs machines à un prix $P_n$ l'année $n$.
Les quantités offertes $O_n$ sont fonction du prix $P_{n-1}$ (à l'année $n - 1$), ceci du fait des délais de fabrication. Les quantités demandées $D_n$ sur le marché sont, elles, fonction du prix $P_n$ au cours de l'année $n$.
Les fabricants recherchent l'équilibre du marché, c'est-à-dire qu'à chaque année $n$ on ait $O_n = D_n$ pour qu'il n'y ait pas de stock.
On a: $\begin{cases} O_n = 2P_{n-1} -10 \text{ avec } n \geqslant 1\\ D_n = - 3P_{n} + 140 \text{ avec } n \geqslant 0.\\ \end{cases}$
$P_n$ est exprimé en centaines de francs, $O_{n}$ et $D_n$ en milliers d'unités.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les droites d'équations $y = 2x- 10$ et $y = 3x + 140$.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

Aide

Il faut résoudre le système d'équations formé avec les deux équations de droites.

Solution

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On a $P_0 = 15$ , déterminer la valeur de $O_1$, $ O_1$ est représenté sur le graphique.

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On peut prendre $n=1$ dans la relation $O_n = 2P_{n-1} -10 $

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Les quantités offertes doivent chaque année être égales aux quantités demandées, donc en particulier $O_1 = D_1$ . En utilisant $D_1$ , on a représenté $P_1$ sur le graphique.
Ce prix $P_1$ , détermine une offre $O_2$ qui doit être égale à $D_2$. Cette valeur déclenche alors un prix $P_2$ ; le représenter sur le graphique ainsi que $P_3$ et $P_4$.
Peut-on émettre une conjecture quant à la limite de la suite $(P_n)$ ?

Aide

Avec la droite d'équation $y=2x-10$ en prenant $P_n$ comme abscisse, on obtient $O_{n+1}$ comme ordonnée.
En prenant $D_{n+1}=O_{n+1}$ comme ordonnée, avec la droite d'équation $y=-3x+140$ on obtient $P_{n+1}$ comme abscisse puisque $D_n = - 3P_{n} + 140 $

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Dans l'hypothèse d'équilibre, soit $0_n = D_n$, démontrer que $P_n = -~\dfrac{2}{3}P_{n-1} + 50$ avec $n \geqslant 1$.

Aide

Utiliser les deux relations données dans l'énoncé liant $O_n$, $P_n$ et $D_n$ sachant que $O_n=D_n$

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$(u_n)$ est la suite définie pour $n > 0$ par $u_n = P_n - 30$.
Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

Rappel cours

Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

Aide

Il faut montrer qu'il existe $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=qu_n$
$u_{n+1}=P_{n+1}-30 =\dfrac{-2}{3}P_{n}-30$....

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Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et montrer que : $P_n = 30 - 15 \left(- \dfrac{2}{3}\right)^n$ pour $n\geq 0$

Rappel cours

Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

Aide

On a $u_n=P_n-30$ donc $P_n=u_n+30$

Solution

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Montrer que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} ( P_n - 30)= 0$ .
Déterminer alors la limite $P$ de la suite $(P_n)$ .
Pour ce prix d'équilibre $P$, quelles sont alors les quantités offertes et demandées ?

Rappel cours

Limite de $q^n$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$

Aide

Chercher la limite de la suite $(u_n)$ géométrique de raison $q=\dfrac{-2}{3}$
Pour tout entier naturel $n\geq 0$, on a $u_n=P_n-30$

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