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Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 7 géométrie dans l'espace Séquence 2 repérage dans l'espace et équation paramétrique d'une droite

Alignement dans un repère de l’espace, vecteurs coplanaires (réf 1253)

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Vecteurs colinéaires et alignement dans un repère de l’espace

Vecteurs coplanaires

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Exercice | temps recommandé entre 5 et 10mn | Niveau 1 application directe du cours | séquence 2 du chapitre |

Vidéo de l’exercice

L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ et on donne les points $A(2;-3;1)$, $B(1;3;5)$ et $C(-1;3;-2)$.
  1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
    Rappel cours

    Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
    L'espace est muni d'un repère quelconque.
    Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
    $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $

    Solution

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  2. Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    Aide

    $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

    Solution

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  3. Déterminer les coordonnées du point $M$ défini par la relation $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$
    Aide

    On a donc $x_{\overrightarrow{AM}}=2x_{\overrightarrow{AB}}-3x_{\overrightarrow{AC}}$

    Solution

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  4. Que peut-on en déduire pour les points $A$, $B$, $C$ et $M$?
    Rappel cours

    vecteurs coplanaires
    Trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ non nuls sont coplanaires si les points $A$, $B$, $C$ et $D$ définis par $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{w}$ sont dans un même plan.

    Solution

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  5. On donne $N(5;y;z)$, déterminer les coordonnées de $N$ pour que $A$, $B$ et $N$ soient alignés.
    Aide

    Il faut que les vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{AB}$ soient colinéaires.

    Solution

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Vidéo de l’exercice

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