Vecteurs égaux
Les vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CD}$ sont égaux
si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.

On peut utiliser les vecteurs $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{EF}$
Il faut d'abord montrer que $AEFD$ est un parrallélograme

$ABCD$ parallélogramme donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
$BEFC$ parallélogramme donc $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CF}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}$
On a donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}$
donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{EF}$
donc $AEFD$ est un parallélogramme
donc $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DF}$

Image d'un point par une translation
$D$ est l'image de $C$ par la translation transformant $A$ en $B$ si $ABDC$ est un parallélogramme.
$D$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$
$A$ est l'origine et $B$ l'extrémité du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

On peut montrer d'abord que $DBA'C$ est un parallélogramme.

On a la figure suivante:

$A'$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$
donc $\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{AB}$
$ABCD$ parallélogramme donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
On a donc $\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
donc $\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{DC}$
donc $BA'CD$ est un parallélogramme
donc $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA'}$