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Contenu
Démonstration du résultat du cours pour la somme et le produit des racines
Application à la résolution d’une équation sans calcul du discriminant
Ressources associées et exercices semblables
Équations du second degré en utilisant le produit des racines (réf 0496)
exercice
On suppose que le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ est strictement positif et qu'il y a donc deux racines notées $x_1$ et $x_2$.
- Rappeler l'expression de $x_1$ et de $x_2$ en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
Rappel cours
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Solution
- Exprimer la somme et le produit des racines en fonction des réels $a$, $b$ et $c$.
Rappel cours
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Solution
$x_1+x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\phantom{x_1+x_2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\phantom{x_1+x_2}=\dfrac{-b-b}{2a}$
$\phantom{x_1+x_2}=\dfrac{-2b}{2a}$
$x_1x_2=\left(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$
$\phantom{x_1x_2}=\dfrac{\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)\left(-b+\sqrt{\Delta}\right)}{4a^2}$ on multiplie les numérateurs et dénominateurs entre eux
$\phantom{x_1x_2}=\dfrac{b^2-b\sqrt{\Delta}+\sqrt{\Delta} b -\sqrt{\Delta}^2}{4a^2}$
$\phantom{x_1x_2}=\dfrac{b^2 -\Delta}{4a^2}$ or $\Delta=b^2-4ac$
donc $x_1x_2=\dfrac{b^2 -(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\dfrac{+4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$
- Application: En remarquant que $x_1=2$ est une racine de $P(x)=2x^2-500x+992$, déterminer les racines de $P$.
Aide
On peut vérifier que $P(2)=0$
Solution
$P(2)=2\times 2^2-500\times 2+992=8-1000+992=0$
donc $x_1=2$ est une racine de $P$.
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $2x_2=\dfrac{992}{2}$ donc $x_2=\dfrac{992}{2\times 2}=\dfrac{992}{4}=248$