Calculs des termes d’une suite sous forme explicite (réf 0582)

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Suite définie sous forme explicite

Calcul des premiers termes d’une suite

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La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{n-3}{n+2}$.

calculer $u_0$ puis $u_1$

Aide

Il faut remplacer $n$ par la valeur 0 pour calculer $u_0$

Solution

$u_n=\dfrac{n-3}{n+2}$ et en prenant $n=0$, on a:
$u_0=\dfrac{0-3}{0+2}=\dfrac{-3}{2}$
en prenant $n=1$, on a:
$u_1=\dfrac{1-3}{1+2}=\dfrac{-2}{3}$
La suite $(u_n)$ est-elle définie par récurrence ou sous forme explicite?

Rappel cours

Forme explicite
$(u_n)$ est définie sous forme explicite si $u_n=f(n)$ avec $f$ fonction définie pour $x\geq 0$.
$f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.
Relation de récurrence
La suite $(u_n)$ est définie par récurrence si $u_{n+1}$ est exprimé en fonction des termes précédents.

Aide

Une suite est définie par récurrence si pour tout entier naturel $n$, pour calculer $u_n$ il faut calculer tous les termes précédents

Solution

$u_n$ est exprimé en fonction de $n$ donc on peut calculer directement la valeur de $u_n$ sans avoir à calculer les termes précédents
Déterminer la fonction associée à la suite $(u_n)$.

Solution

$u_n=\dfrac{n-3}{n+2}$
Calculer $u_{10}$.

Aide

Il faut remplacer $n$ par 10 dans la relation définissant $u_n$

Solution

$u_n=\dfrac{n-3}{n+2}$ et en prenant $n=10$, on a:
$u_{10}=\dfrac{10-3}{10+2}=\dfrac{7}{12}$
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.

Aide

Il faut remplacer $n$ par $n+1$ dans la relation définissant $u_n$

Solution

$u_n=\dfrac{n-3}{n+2}$ et en remplaçant $n$ par $n+1$, on a:
$u_{n+1}=\dfrac{n+1-3}{n+1+2}=\dfrac{n-2}{n+3}$

Vidéo de l’exercice