Calculer $u_1$ et $u_2$ et montrer que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.

Rappel cours

Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

Aide

Il faut prendre successivement $n=0$ puis $n=1$ dans la relation $u_{n+1}=3u_n-2$
On peut calculer ensuite $u_1-u_0$ et $u_2-u_1$ puis $\dfrac{u_1}{u_0}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}

Solution

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On pose $w_n=u_n-1$. Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Rappel cours

Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

Aide

Il faut montrer qu'il existe $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, on a $w_{n+1}=qw_n$
$w_{n+1}=u_{n+1}- 1 =3u_n-2 -1$....

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En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

Rappel cours

Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

Aide

On a $w_n=u_n-1$ donc $u_n=w_n+1$

Solution

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Calculer $u_{20}$.

Solution

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Infos abonnements $u_n=3^n+1$ et donc pour $n=20$, on a:
$u_{20}=3^{20}+1=3486784402$