Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
Somme des termes d'une suite géométrique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$

Identifier la suite correspondant à cette somme
Déterminer avec la calculatrice la valeur de $n$ pour laquelle $u_n=6561$

Soit $(u_{n})$la suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et raison $q=3$
On a alors $u_n=u_0\times q^n=3^n$
et $u_1=3$, $u_2=9$,.....

Recherche de l'indice $n$ tel que $u_n=6561$
$u_n=3^n=6561$
Avec le Menu TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction Y1=$3^x$ et en paramètrant X-START:0, X-END:50 par exemple et PITCH:1, on obtient:
$u_8=6561$
donc il y a $9$ termes dans cette somme.
$1+3+9+27+....+6561=u_0+u_1+u_2+........+u_{8}$
Il y a $8+1=9$ termes dans cette somme donc on a:
$u_0+u_1+u_2+........+u_{8}$
$=u_0\times \dfrac{1-q^{9}}{1-q}$
$=1\times \dfrac{1-3^{9}}{1-3}$
$= \dfrac{1-3^{9}}{-2}$
$=9841$
$1+3+9+........+6561=9841$

Identifier la suite correspondant à cette somme
Déterminer avec la calculatrice la valeur de $n$ pour laquelle $u_n=\dfrac{1}{2048}$

Soit $(u_{n})$la suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et raison $q=\dfrac{1}{2}$
On a alors $u_n=u_0\times q^n=(\dfrac{1}{2})^n=\dfrac{1}{2^n}$
et $u_1=\dfrac{1}{2}$, $u_2=\dfrac{1}{4}$,.....

Recherche de l'indice $n$ tel que $u_n=\dfrac{1}{2048}$
$u_n=3^n=\dfrac{1}{2048}$
En utilisant la calculatrice on obtient $2^{11}=2048$
soit $u_{11}=\dfrac{1}{2048}$
$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+......+\dfrac{1}{2048}=u_0+u_1+u_2+........+u_{11}$
Il y a $11+1=12$ termes dans cette somme donc on a:
$u_0+u_1+u_2+........+u_{11}$
$=u_0\times \dfrac{1-q^{12}}{1-q}$
$=1\times \dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{12}}{1-\dfrac{1}{2}}$
$=1\times \dfrac{1-\dfrac{1}{2^{12}}}{\dfrac{1}{2}}$
$=2(1-\dfrac{1}{2^{12}})$
$=2-\dfrac{1}{2^{11}}$
$\simeq 1,9995$
$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+......+\dfrac{1}{2048}=2-\dfrac{1}{2^{11}}\simeq 1,9995$