On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ ci-dessous, pour lequel $AB = 4$cm, $BC =5$cm et $BF = 7$cm.
$I$, $J$ et $K$ sont les points tels que $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BJ} = \dfrac{2}{5} \overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BK} = \dfrac{2}{7} \overrightarrow{BF}$.

On se place dans le repère $\left(B; \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{BJ},\overrightarrow{BK}\right)$.

Quelle est la nature du repère $\left(B; \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{BJ},\overrightarrow{BK}\right)$?

Aide

Il faut vérifier que les axes du repère sont orthogonaux deux à deux et que $BI=BJ=BK$

Solution

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Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- \dfrac{18}{7}\end{pmatrix}$ est normal au plan $(IJH)$.

Rappel cours

Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$ Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$

Aide

Il faut vérifier que le vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IH}$
$I(1;0;0)$, $J(0;1;0)$

Solution

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En déduire une équation cartésienne du plan $(IJH)$.

Rappel cours

Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$

Aide

Les coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans $ax+by+cz+d=0$ sont donnés par les coordonnées d'un vecteur normal au plan $(IJH)$ et on détermine $d$ en utilisant les coordonnées du point $I$ par exemple

Solution

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Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(CG)$ et en déduire les coordonnées du point d'intersection $M$ du plan $(IJH)$ et de la droite $(CG)$ .

Rappel cours

Représentation paramétrique d'une droite
Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$

Aide

$\overrightarrow{CG}=\dfrac{7}{2}\overrightarrow{BK}$ donc $\overrightarrow{BK}$ est un vecteur directeur de $(CG)$

Solution

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Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(IJH)$ en utilisant le point $M$.
Ce tracé sera réalisé sur la figure.

Rappel cours

théorème du toit
Lorsque deux plans $P$ et $P'$ sont sécants et contiennent respectivement les droites $d$ et $d'$, l'intersection de $P$ et de $P'$ est une droite $\Delta$ parallèle à $d$ et à $d'$.

Aide

Il faut déterminer les intersections plan $(IJH)$ avec chacune des faces du pavé.

Solution

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