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Contenu
p-listes, combinaisons et arrangements
Calculs avec le produit factoriel
Ressources associées et exercices semblables
Aide mémoire probabilités, dénombrement, loi binomiale et variable aléatoire (réf 1354)
mémo
- On tire simultanément trois boules dans l'urne.
- Combien y-a-t-il de tirages possibles?
Rappel cours
Combinaisons
$E$ est un ensemble de $n$ éléments et $0\leq p \leq n$.
Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est un sous ensemble (ou partie) de $p$ éléments de $E$.
Pour une combinaison, on ne tient pas compte de l'ordre des éléments de la $p$-liste et il n'y a pas de répétitions d'éléments identiques.
Le nombre de combinaisons de $p$ ($p\leq n$) éléments de $E$ est l'entier naturel noté $\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}=n\times(n-1) \times \cdots \times(n-p+1) = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$Aide
On ne tient pas compte de l'ordre puisqiu'il y a tirage simultané
Solution
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Infos abonnements - Combien de tirages possibles avec deux boules rouges?
Aide
On prend donc deux rouges parmi les trois et 1 parmi les 7 restantes.
Solution
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Infos abonnements - Combien de tirages possibles avec au moins une boule rouge?
Aide
L'événement "au moins une boule rouge est le contraire de l'événement "aucune boule rouge"
Solution
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- Combien y-a-t-il de tirages possibles?
- On effectue trois tirages successifs avec remise dans l'urne après chaque tirage.
- Combien y-a-t-il de tirages possibles?
Solution
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Infos abonnements - Combien y-a-t-il de tirages possibles contenant exactement une boule rouge et deux vertes?
Solution
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- Combien y-a-t-il de tirages possibles?
Il faut trouver les trois premiers dans l'ordre pour gagner les paris.
- Combien y-a-t-il de combinaisons possibles pour avoir le tiercé dans l'ordre?
Rappel cours
p-liste sans répétition
Soit $p\leq n$ Le nombre de $p$-listes de $p$ éléments de $E$ distincts est $A_p^n=n\times(n-1)\times(n-2)\times \dots \times (n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}$.
Si $p=n$, il s'agit du nombre de permutations de $n$ éléments soit $A_n^n=n!$
Remarques
Dans un arrangement (liste de $p$ éléments de $E$ distincts, on tient compte de l'ordre.Aide
Il faut donc déterminer le nombre de 3-listes d'éléments distincts
Solution
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Infos abonnements - Combien y-a-t-il de combinaisons de tiercé dans le désordre? Autrement dit de possibilité de trouver les trois premiers chevaux arrivés sans tenir compte de l'ordre d'arrivée.
Aide
On cherche donc le nombre de sous-ensembles à 3 éléments parmi les 20 puisque l'on ne tient pas compte de l'ordre
Solution
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Rappel cours
Produit factorielle
Soit $n$ un entier naturel non nul,
$n!=n(n-1)(n-2)....\times 3\times 2\times 1$
Par exemple $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$
Combinaisons
$E$ est un ensemble de $n$ éléments et $0\leq p \leq n$.
Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est un sous ensemble (ou partie) de $p$ éléments de
$E$.
Pour une combinaison, on ne tient pas compte de l'ordre des éléments de la $p$-liste et il n'y a pas de répétitions d'éléments identiques.
Le nombre de combinaisons de $p$ ($p\leq n$) éléments de $E$ est l'entier naturel
noté $\begin{pmatrix}
n\\p
\end{pmatrix}=n\times(n-1) \times \cdots \times(n-p+1) = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$
Solution
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