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Contenu
Affixe d’un point
Suites de complexes
Argument d’un complexe
Somme des termes et limite
Ressources associées et exercices semblables
$\begin{cases} z_{0}= 16\\ z_{n+1}=\dfrac{1 + i}{2}z_{n} \end{cases}$.
On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}$: $ r_{n} =\left|z_{n}\right|$.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.
-
- Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.
Aide
On a z_{n+1}=\dfrac{1 + i}{2}z_{n}$ donc $z_1=\dfrac{1 + i}{2}z_{0}$, $z_2=\dfrac{1 + i}{2}z_{1}$
Solution
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Infos abonnements - Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique ci-dessous.
Rappel cours
Affixe d'un point et d'un vecteur
Le complexe $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) est l'affixe du point $M(x;y)$. %l Avec $\overrightarrow{u}(a;b)$, le complexe $u=a+ib$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$.Solution
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Infos abonnements - Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + i}{2}$ sous forme trigonométrique.
Rappel cours
Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.Solution
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Infos abonnements - Démontrer que le triangle $OA_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$.
Aide
On peut calculer les modules de $z_0$, $z_1-z_0$ et de $z_1$ puis vèrifier que $OA_1^2+A_0A_1^2=OA_0^2$
Solution
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- Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.
- Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?
Interpréter géométriquement le résultat précédent.Rappel cours
Limite de $q^n$ (suite géométrique)
Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$Aide
Il faut montrer que $r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}r_n$
$r_{n+1}=|z_{n+1}|=|\dfrac{1 + i}{2}z_{n}|=\left|\dfrac{1 + i}{2}\right|~|z_{n}|$Solution
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- Démontrer que pour tout entier naturel $n$: $A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$.
Aide
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}$ est $z_{n+1}-z_n$
$A_{n}A_{n+1}=||\overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}||=|z_{n+1}-z_n|$Solution
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Infos abonnements - Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Somme des termes d'une suite géométrique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$Aide
$A_{n}A_{n+1}=r_{n+1}$ donc $A_{0}A_{1}=r_{1}$, $A_{1}A_{2}=r_{2}$...........$A_{n-1}A_{n}=r_{n}$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.
Aide
Il faut déterminer la limite de $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\right)$
Solution
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- Démontrer que pour tout entier naturel $n$: $A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$.
On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, etc.
Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} = A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$