Envoyez votre messageInfos
Vous devez être inscrit pour accéder à ces informations.
Ceci vous permet de visualiser les ressources déjà vues et marquer à revoir celles qui nécessitent d'être retravaillées.
Contenu
Suite arithméticogéométrique
Congruences avec les termes de la suite
Congruences modulo 100 pour déterminer les deux derniers chiffres de Un
Ressources associées et exercices semblables
- Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
Quelle conjecture peut-on faire sur les deux derniers chiffres de $u_n$?Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+2}\equiv u_n$ ($4$).
Rappel cours
Addition, multiplication et exposant
$n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
- addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
- multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
- exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - En déduire que $u_{2k}\equiv 2$ ($4$) et que $u_{2k+1}\equiv 0$ ($4$) avec $k$ entier naturel.
Aide
On a $u_{n+2}\equiv u_n$ ($4$)
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $2u_n=5^{n+2}+3$
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.Aide
On a $2u_{n+1}=10u_n-12=5\times 2u_n-12$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Montrer par récurrence que $5^{n+2}\equiv 25$ ($100$) pour tout entier naturel $n$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - En déduire que pour tout entier naturel $n$ on a $2u_n\equiv 28$ ($100$).
Aide
On a $2u_n=5^{n+2}+3$ et $5^{n+2}\equiv 25$ ($100$)
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - En déduire les deux derniers chiffres de $u_n$ selon les valeurs de l'entier naturel $n$.
Aide
Il existe un entier $k$ tel que $2u_n=100k+28=50\times 2k+28$ soit $u_n=50k+14$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION