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QCM séquence 3 graphes probabilistes et chaînes de Markov (réf 1663)

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Graphe probabiliste

Matrice de transition

État stable

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6 questions pour faire le point sur la séquence 3 du cours

1. .

La matrice de transition du graphe probabiliste à deux états A et B est

$\begin{pmatrix}0,3&0,6\\0,7&0,4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0,3&0,4\\0,6&0,7\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0,3&0,7\\0,6&0,4\end{pmatrix}$

2. On considère une chaîne de Markov a deux états notés $A_n$ et $B_n$.

On note $M$ la matrice carrée d’ordre 2 associée et on a $E_n=\begin{vmatrix}A_n~~~~~B_n\end{vmatrix}$

$E_3=E_0\times M^3$

$E_3=M\times E_0$

$E_4=E_0\times M^3$

3. Une association sportive propose à ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique
un et un seul de ces deux sports.

Chaque année les adhérents renouvellent tous leur adhésion. L’association n’accueille pas de nouveaux adhérents. Elle
compte 800 adhérents.

Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d’envisager le modèle suivant :
— 70 % des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté,

— 20 % des adhérents qui étaient inscrits au judo s’inscrivent au karaté.

En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo.

On appelle $P_n = (a_n~~~~ b_n) $ la matrice traduisant la répartition des adhérents selon le sport pratiqué l’année $2003+n$ :

• $a_n$ représente la proportion des adhérents inscrits au karaté l’année
$2003+n$

• $b_n$ représente la proportion des adhérents inscrits au judo l’année $2003+n$

$E_0=(0,75~~~~0,25)$

$E_0=(0,25~~~~0,75)$

$E_0=(0,7~~~~0,2)$

4. Une association sportive propose à ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique
un et un seul de ces deux sports.

Chaque année les adhérents renouvellent tous leur adhésion. L’association n’accueille pas de nouveaux adhérents. Elle
compte 800 adhérents.

Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d’envisager le modèle suivant :
— 70 % des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté,

— 20 % des adhérents qui étaient inscrits au judo s’inscrivent au karaté.

En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo.

On appelle $P_n = (a_n~~~~ b_n) $ la matrice traduisant la répartition des adhérents selon le sport pratiqué l’année $2003+n$ :

• $a_n$ représente la proportion des adhérents inscrits au karaté l’année
$2003+n$

• $b_n$ représente la proportion des adhérents inscrits au judo l’année $2003+n$

Le graphe probabiliste associé est:

5. Une association sportive propose à ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique
un et un seul de ces deux sports.

Chaque année les adhérents renouvellent tous leur adhésion. L’association n’accueille pas de nouveaux adhérents. Elle
compte 800 adhérents.

Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d’envisager le modèle suivant :
— 70 % des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté,

— 20 % des adhérents qui étaient inscrits au judo s’inscrivent au karaté.

En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo.

On appelle $P_n= (a_n~~~~ b_n) $ la matrice traduisant la répartition des adhérents selon le sport pratiqué l’année $2003+n$ :

• $a_n$ représente la proportion des adhérents inscrits au karaté l’année
$2003+n$

• $b_n$ représente la proportion des adhérents inscrits au judo l’année $2003+n$

La matrice de transition correspondant à cette situation est

$\begin{pmatrix}0,3&0,7\\0,8&0,2\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,2&0,8\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0,7&0,2\\0,3&0,8\end{pmatrix}$

6. Une association sportive propose à ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique
un et un seul de ces deux sports.

Chaque année les adhérents renouvellent tous leur adhésion. L’association n’accueille pas de nouveaux adhérents. Elle
compte 800 adhérents.

Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d’envisager le modèle suivant :
— 70 % des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté,

— 20 % des adhérents qui étaient inscrits au judo s’inscrivent au karaté.

En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo.

On appelle $P_n= (a_n~~~~ b_n) $ la matrice traduisant la répartition des adhérents selon le sport pratiqué l’année $2003+n$ :

• $a_n$ représente la proportion des adhérents inscrits au karaté l’année
$2003+n$

• $b_n$ représente la proportion des adhérents inscrits au judo l’année $2003+n$

L’état stable est

$E=(0,3~~~0,7)$

$E=(0,4~~~0,6)$

$E=(0,6~~~0,4)$

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