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Contenu
Chaîne de Markov a deux états
Graphe probabiliste et matrice de transition
Calcul de E5 et interprétation
Recherche de l’état stable et interprétation
Ressources associées et exercices semblables
Graphe probabiliste (réf 1664)
exercice
Ils disposent pour se déplacer de deux moyens de locomotion : un minibus ou des bicyclettes.
Le séjour dure un mois pour tous les vacanciers. Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80 % des touristes choisissent le minibus.
On considère qu'ensuite, chaque jour, 30 % de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15 % des vacanciers qui avaient emprunté la bicyclette la veille, choisissent le minibus.
Soit $n$ est un entier entre 1 et 31. On appelle $P_n = (a_n~~ b~_n) $ la matrice traduisant l'état probabiliste relatif au n-ième jour, où :
$a_n$ représente la proportion des vacanciers choisissant le minibus le jour $n$ ;
$b_n$ représente la proportion des vacanciers choisissant la bicyclette le jour $n$.
- Justifier que l'on peut modéliser cette situation par une chaîne de Markov à deux états et donner son graphe probabiliste.
Rappel cours
Chaîne de Markov
On considère une suite de variables aléatoires $(X_n)$ définies sur un même espace fini muni d'une probabilité.
On dit que $X_n$ est une chaîne de Markov à deux états $A$ et $B$ (respectivement à trois états $A$, $B$ et $C$) si :
pour tout entier naturel $n$ et tout $x\in \lbrace A;B\rbrace$ (respectivement $x\in \lbrace A;B;C\rbrace$) alors $p(X_{n+1}=x)$ ne dépend que de l'état à l'étape $n$.
La distribution initiale est la loi de probabilité pour $n=0$.Aide
Si on note A et B les sommets du graphe, 30% de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette se traduit par 30% passent de A vers B
Solution
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Infos abonnements - Donner la matrice de transition, notée , associée à cette chaîne de Markov.
Rappel cours
Matrice de transition d'un graphe probabiliste
La matrice de transition d'une chaîne de Markov à $n$ états est une matrice carrée $M=(m_{ij})$ d'ordre $n$ telle que $m_{ij}$ est le poids de l'arête allant du sommet $S_i$ au sommet $S_j$.Aide
e coefficient de la ligne 1 et de la colonne 1 correspond à la probabilité de A sachant que A est réalisé la veille.Solution
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Infos abonnements - Déterminer l'état initial $P_{1}$.
Solution
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Infos abonnements - Calculer $P_{2}$ (faire apparaître les calculs). Interpréter le résultat obtenu.
Rappel cours
Matrice de transition d'un graphe probabiliste
La matrice de transition d'une chaîne de Markov à $n$ états est une matrice carrée $M=(m_{ij})$ d'ordre $n$ telle que $m_{ij}$ est le poids de l'arête allant du sommet $S_i$ au sommet $S_j$.Solution
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Infos abonnements - On suppose que $\text{M}^5 = \begin{pmatrix}0,367& 0,633\\
0,317& 0,683 \end{pmatrix}$ et $\text{M}^6 = \begin{pmatrix}0,352& 0,648\\
0,324& 0,676 \end{pmatrix}$, les coefficients ayant été arrondis au millième.
En utilisant la matrice qui convient, déterminer la répartition prévisible le 6ième jour. On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1% près.Aide
On veut calculer $E_6$
On commence à l'indice 1Solution
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Infos abonnements - Soit P$ = (x\quad y)$ la matrice correspondant à l'état stable.
Déterminer $x$ et $y$ ; en donner une interprétation.Rappel cours
État stable ou chaîne de Markov stationnaire
On dit qu'une distribution $E$, représentée à l'aide d'une matrice ligne, est stationnaire pour une chaîne de Markov dont la matrice de transition est $M$ si $E=E\times M$.Aide
Calculer $E\times M$ en fonction de $x$ et $y$ et on a $E=E\times M$
On a aussi $x+y=1$Solution
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